kaoyan1basic 高等数学 第35题
📝 题目
### 【强化篇】第35题（填空题） 35．已知某三阶常系数齐次线性微分方程有两个特解，分别为 $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2} x} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x$ 与 $\mathrm{e}^{x}$ ，则该微分方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y'''-\frac{5}{2}y''+2y'-\frac{1}{2}y=0$ **解析**： 步骤1：特解$\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2}x}\cos\frac{\sqrt{3}}{2}x$对应特征根$\displaystyle \frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i$，特解$\mathrm{e}^{x}$对应特征根$1$。 步骤2：特征根为$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$\displaystyle \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$1$，特征方程$\displaystyle (r-1)\left(r-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(r-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=0$，即$(r-1)(r^2-r+1)=r^3-2r^2+2r-1=0$。 步骤3：对应微分方程为$y'''-2y''+2y'-y=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定特征根
特解 e^{x/2} cos(√3 x/2) 对应一对共轭复根 1/2 ± (√3/2)i，特解 e^x 对应实根 1。
提示：注意常系数齐次线性微分方程的解与特征根的关系。
步骤 2/4
目标：写出特征方程
特征根为 r1=1, r2=1/2 + (√3/2)i, r3=1/2 - (√3/2)i。特征方程为 (r-1)(r-1/2-√3i/2)(r-1/2+√3i/2)=0。
公式：(r-1)(r^2 - r + 1)=0
提示：复根相乘时利用平方差公式简化。
步骤 3/4
目标：展开特征方程
展开 (r-1)(r^2 - r + 1) = r^3 - 2r^2 + 2r - 1 = 0。
公式：r^3 - 2r^2 + 2r - 1 = 0
提示：注意系数计算准确。
步骤 4/4
目标：写出微分方程
由特征方程 r^3 - 2r^2 + 2r - 1 = 0 对应微分方程 y''' - 2y'' + 2y' - y = 0。
公式：y''' - 2y'' + 2y' - y = 0
提示：特征方程中 r^k 对应 y 的 k 阶导数。
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