kaoyan1basic 高等数学 第36题
📝 题目
### 【强化篇】第36题（选择题） 36．若某三阶常系数齐次线性微分方程具有特解 $y=2 x \mathrm{e}^{x}$ 与 $y=3 \mathrm{e}^{-2 x}$ ，则该微分方程为（ ）。 （A）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$ （B）$y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}-4 y=0$ （C）$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0$ （D）$y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：特解$y=2x\mathrm{e}^{x}$对应特征根$r=1$（二重），特解$y=3\mathrm{e}^{-2x}$对应特征根$r=-2$。 步骤2：特征根为$1$（二重），$-2$，特征方程$(r-1)^2(r+2)=0$，即$(r^2-2r+1)(r+2)=r^3-3r+2=0$。 步骤3：对应微分方程为$y'''-3y'+2y=0$，对应选项D。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定特征根
由特解 y=2xe^x 可知，特征根 r=1 为二重根；由特解 y=3e^{-2x} 可知，特征根 r=-2。
提示：注意特解形式与特征根的关系：e^{αx}对应单根α，xe^{αx}对应二重根α。
步骤 2/4
目标：写出特征方程
特征根为1（二重）和-2，故特征方程为 (r-1)^2(r+2)=0，展开得 r^3 - 3r + 2 = 0。
公式：(r-1)^2(r+2)=r^3-3r+2=0
提示：展开时注意合并同类项。
步骤 3/4
目标：写出微分方程
特征方程 r^3 - 3r + 2 = 0 对应的微分方程为 y''' - 3y' + 2y = 0。
公式：y''' - 3y' + 2y = 0
提示：特征方程中r^k对应y的k阶导数。
步骤 4/4
目标：选择正确选项
对比选项，选项D为 y''' - 3y' + 2y = 0，与所求一致。
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