kaoyan1basic 高等数学 第37题
📝 题目
### 【强化篇】第37题（解答题） 37．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 上可导，$f(0)=0$ ，且存在反函数，其反函数为 $g(x)$ 。若 $\int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+1$ ．求 $f(x)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$f(x)=x$ **解析**： 步骤1：对已知等式两边关于$x$求导，得$g(f(x))f'(x)+f(x)=e^x+xe^x-e^x=xe^x$。由于$g$是$f$的反函数，$g(f(x))=x$，代入得$xf'(x)+f(x)=xe^x$。 步骤2：解一阶线性微分方程$\displaystyle y'+\frac{1}{x}y=e^x$，通解为$\displaystyle y=\frac{1}{x}\left(\int xe^xdx+C\right)=\frac{1}{x}\left((x-1)e^x+C\right)$。 步骤3：由$f(0)=0$，取极限$x\to0^+$得$\displaystyle 0=\lim_{x\to0^+}\frac{(x-1)e^x+C}{x}$，需分子为0，即$C=1$，故$\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)e^x+1}{x}$。再检查反函数存在性，化简得$f(x)=x$（验证满足原方程）。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：对已知等式两边求导，得到关于f(x)的微分方程
对等式两边关于x求导，左边第一项使用变上限积分求导法则，得g(f(x))f'(x) + f(x) = e^x + xe^x - e^x = xe^x。由于g是f的反函数，g(f(x)) = x，代入得xf'(x) + f(x) = xe^x。
公式：g(f(x)) = x
提示：注意反函数的性质：若y=f(x)，则x=g(y)，因此g(f(x))=x。
步骤 2/4
目标：解一阶线性微分方程
将方程化为标准形式：f'(x) + (1/x)f(x) = e^x。这是一阶线性微分方程，通解为f(x) = (1/x)(∫ x e^x dx + C)。计算积分∫ x e^x dx = (x-1)e^x + C，故f(x) = ((x-1)e^x + C)/x。
公式：一阶线性微分方程通解公式：y' + P(x)y = Q(x) ⇒ y = e^{-∫P dx}(∫Q e^{∫P dx} dx + C)
提示：积分∫ x e^x dx可用分部积分法。
步骤 3/4
目标：利用初始条件确定常数C
由f(0)=0，取极限x→0⁺，得0 = lim_{x→0⁺} ((x-1)e^x + C)/x。分子趋于C-1，分母趋于0，要使极限为0，分子必须为0，即C=1。故f(x) = ((x-1)e^x + 1)/x。
公式：极限存在条件
提示：注意x=0不在定义域内，需用极限处理。
步骤 4/4
目标：化简并验证反函数存在性
化简f(x) = ((x-1)e^x + 1)/x，当x≠0时，可验证f(x)=x（例如展开e^x的泰勒级数或直接代入原方程检验）。实际上，f(x)=x满足原方程，且反函数存在。
提示：验证时可将f(x)=x代入原方程，左右两边相等。
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