kaoyan1basic 高等数学 第38题
📝 题目
### 【强化篇】第38题（选择题） 38．微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+x y=\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ 满足 $y(0)=0$ 的积分曲线的拐点个数为（ ）。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：解一阶线性微分方程$\displaystyle y'+xy=e^{-\frac{x^2}{2}}$，通解$\displaystyle y=e^{-\int xdx}\left(\int e^{-\frac{x^2}{2}}e^{\int xdx}dx+C\right)=e^{-\frac{x^2}{2}}\left(\int e^{-\frac{x^2}{2}}e^{\frac{x^2}{2}}dx+C\right)=e^{-\frac{x^2}{2}}(x+C)$。 步骤2：由$y(0)=0$得$C=0$，故$\displaystyle y=xe^{-\frac{x^2}{2}}$。 步骤3：求二阶导数$\displaystyle y'=e^{-\frac{x^2}{2}}(1-x^2)$，$\displaystyle y''=e^{-\frac{x^2}{2}}(-3x+x^3)=xe^{-\frac{x^2}{2}}(x^2-3)$。令$y''=0$得$x=0,\pm\sqrt{3}$，且两侧变号，故拐点个数为3。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：解一阶线性微分方程
方程 y' + xy = e^{-x^2/2} 是一阶线性微分方程，通解公式为 y = e^{-∫x dx} (∫ e^{-x^2/2} e^{∫x dx} dx + C)。计算 ∫x dx = x^2/2，故 y = e^{-x^2/2} (∫ e^{-x^2/2} e^{x^2/2} dx + C) = e^{-x^2/2} (∫ 1 dx + C) = e^{-x^2/2} (x + C)。
公式：y = e^{-∫P dx} (∫ Q e^{∫P dx} dx + C)
提示：注意积分因子 e^{∫P dx} 的计算，以及化简过程。
步骤 2/3
目标：利用初始条件确定常数
代入 y(0)=0 得 0 = e^{0} (0 + C) = C，所以 C=0，特解为 y = x e^{-x^2/2}。
提示：初始条件用于确定特解。
步骤 3/3
目标：求二阶导数并找拐点
先求一阶导数：y' = e^{-x^2/2} (1 - x^2)。再求二阶导数：y'' = e^{-x^2/2} (-3x + x^3) = x e^{-x^2/2} (x^2 - 3)。令 y''=0 得 x=0, ±√3。检查这些点两侧 y'' 是否变号：x=0 左侧 y''>0，右侧 y''<0；x=-√3 左侧 y''<0，右侧 y''>0；x=√3 左侧 y''<0，右侧 y''>0。因此三个点均为拐点，拐点个数为3。
公式：y'' = x e^{-x^2/2} (x^2 - 3)
提示：拐点要求二阶导数为零且两侧变号。
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