kaoyan1basic 高等数学 第39题
📝 题目
### 【强化篇】第39题（选择题） 39．若微分方程 $y^{\prime}+p y=\mathrm{e}^{q x}$ 的任何积分曲线均有拐点，则（ ）。 （A）$p+q>0$ （B）$p+q<0$ （C）$p=-q \neq 0$ （D）$p+q \neq 0, p q \neq 0$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：解方程$y'+py=e^{qx}$，通解$y=e^{-px}\left(\int e^{(p+q)x}dx+C\right)$。 步骤2：若$p+q\neq0$，则$\displaystyle y=\frac{1}{p+q}e^{qx}+Ce^{-px}$；若$p+q=0$，则$y=xe^{-px}+Ce^{-px}$。 步骤3：求二阶导数$y''$，拐点存在需$y''=0$且变号。当$p+q=0$时$y''=p^2e^{-px}(px-2)$，拐点存在；当$p+q\neq0$时$y''=q^2e^{qx}+p^2Ce^{-px}$，若$pq=0$则可能无拐点。故任何积分曲线均有拐点需$p+q\neq0$且$pq\neq0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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