kaoyan1basic 高等数学 第40题
📝 题目
### 【强化篇】第40题（解答题） 40．求微分方程 $\displaystyle y^{\prime}(x)+y(x)=\frac{(-x)^{n-1}}{3^{n} \mathrm{e}^{x}}$ 的通解，其中 $n$ 为任意正整数．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y(x)=e^{-x}\left(\frac{(-1)^{n-1}}{3^n}\cdot\frac{x^n}{n!}+C\right)$ **解析**： 步骤1：原方程为$\displaystyle y'+y=\frac{(-x)^{n-1}}{3^n e^x}$，即$\displaystyle y'+y=\frac{(-1)^{n-1}x^{n-1}}{3^n}e^{-x}$。 步骤2：一阶线性微分方程通解$\displaystyle y=e^{-\int dx}\left(\int \frac{(-1)^{n-1}x^{n-1}}{3^n}e^{-x}e^{\int dx}dx+C\right)=e^{-x}\left(\frac{(-1)^{n-1}}{3^n}\int x^{n-1}dx+C\right)$。 步骤3：积分得$\displaystyle y=e^{-x}\left(\frac{(-1)^{n-1}}{3^n}\cdot\frac{x^n}{n}+C\right)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将方程化为标准形式
原方程为 $y' + y = \frac{(-x)^{n-1}}{3^n e^x}$，将右边改写为 $\frac{(-1)^{n-1} x^{n-1}}{3^n} e^{-x}$，即 $y' + y = \frac{(-1)^{n-1}}{3^n} x^{n-1} e^{-x}$。
提示：注意指数函数的化简，$e^{-x}$ 是公因子。
步骤 2/3
目标：应用一阶线性微分方程通解公式
一阶线性微分方程 $y' + P(x)y = Q(x)$ 的通解为 $y = e^{-\int P(x) dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C \right)$。这里 $P(x)=1$，$Q(x)=\frac{(-1)^{n-1}}{3^n} x^{n-1} e^{-x}$。计算 $\int P(x) dx = x$，所以 $e^{\int P(x) dx} = e^x$，$e^{-\int P(x) dx} = e^{-x}$。代入得 $y = e^{-x} \left( \int \frac{(-1)^{n-1}}{3^n} x^{n-1} e^{-x} \cdot e^x dx + C \right) = e^{-x} \left( \frac{(-1)^{n-1}}{3^n} \int x^{n-1} dx + C \right)$。
公式：$y = e^{-\int P dx} \left( \int Q e^{\int P dx} dx + C \right)$
提示：注意 $e^{-x} \cdot e^x = 1$，简化积分。
步骤 3/3
目标：计算积分并写出通解
计算 $\int x^{n-1} dx = \frac{x^n}{n}$，代入得 $y = e^{-x} \left( \frac{(-1)^{n-1}}{3^n} \cdot \frac{x^n}{n} + C \right)$。注意答案中常将 $\frac{1}{n}$ 写为 $\frac{1}{n!}$ 的形式，但此处 $n$ 为正整数，$\frac{x^n}{n}$ 与 $\frac{x^n}{n!}$ 不同，需根据题目要求。原答案给出 $\frac{x^n}{n!}$，可能是笔误，但此处按标准积分结果。
公式：$\int x^{n-1} dx = \frac{x^n}{n}$
提示：积分常数 $C$ 不要遗漏。
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