kaoyan1basic 高等数学 第41题
📝 题目
### 【强化篇】第41题（填空题） 41．微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\frac{1}{x}=\mathrm{e}^{-y}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$e^y=x\ln|x|+Cx$ **解析**： 步骤1：方程变形为$\displaystyle \frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}=e^{-y}$，即$\displaystyle e^y\frac{dy}{dx}-\frac{e^y}{x}=1$。 步骤2：令$u=e^y$，则$\displaystyle \frac{du}{dx}=e^y\frac{dy}{dx}$，代入得$\displaystyle \frac{du}{dx}-\frac{u}{x}=1$。 步骤3：解一阶线性方程，通解$\displaystyle u=e^{\int\frac{1}{x}dx}\left(\int e^{-\int\frac{1}{x}dx}dx+C\right)=x(\ln|x|+C)$，故$e^y=x\ln|x|+Cx$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将方程转化为关于u的一阶线性微分方程
原方程 dy/dx - 1/x = e^{-y}，两边乘以 e^y 得 e^y dy/dx - e^y/x = 1。令 u = e^y，则 du/dx = e^y dy/dx，代入得 du/dx - u/x = 1。
公式：u = e^y, du/dx = e^y dy/dx
提示：注意识别可化为线性方程的形式，通过变量代换简化。
步骤 2/3
目标：求解一阶线性微分方程 du/dx - u/x = 1
这是一阶线性微分方程，标准形式 du/dx + P(x)u = Q(x)，其中 P(x) = -1/x，Q(x) = 1。通解公式：u = e^{-∫P dx} (∫Q e^{∫P dx} dx + C)。计算积分因子：∫P dx = -∫1/x dx = -ln|x|，所以 e^{∫P dx} = e^{-ln|x|} = 1/|x|，通常取 1/x（考虑 x>0 或 x<0 时符号可被常数吸收）。则 u = e^{ln|x|} (∫1 * e^{-ln|x|} dx + C) = |x| (∫1/|x| dx + C)。通常写作 u = x (∫1/x dx + C) = x (ln|x| + C)。
公式：u = e^{-∫P dx} (∫Q e^{∫P dx} dx + C)
提示：注意绝对值处理，最终常数C可吸收符号。
步骤 3/3
目标：回代得到原方程的通解
由 u = e^y，得 e^y = x (ln|x| + C)，即 e^y = x ln|x| + Cx。
公式：e^y = x ln|x| + Cx
提示：回代时注意变量替换的逆过程。
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