kaoyan1basic 高等数学 第44题
📝 题目
### 【强化篇】第44题（解答题） 44．设函数 $f(x)$ 满足 $\displaystyle f^{\prime}(x)=f\left(\frac{2}{x}\right)(x>0)$ ． （1）证明 $x^{2} f^{\prime \prime}(x)+2 f(x)=0(x>0)$ ； （2）令 $x=e^{t}$ ，化（1）中方程为常系数线性微分方程，并求 $f(x)$ 。
💡 答案解析
**答案**：（1）略；（2）$f(x)=C_1\cos(\sqrt{2}\ln x)+C_2\sin(\sqrt{2}\ln x)$ **解析**： （1）步骤1：由$\displaystyle f'(x)=f\left(\frac{2}{x}\right)$，两边对$x$求导得$\displaystyle f''(x)=f'\left(\frac{2}{x}\right)\cdot\left(-\frac{2}{x^2}\right)$。 步骤2：又$\displaystyle f'\left(\frac{2}{x}\right)=f(x)$（由原式令$x$换为$\displaystyle \frac{2}{x}$），代入得$\displaystyle f''(x)=-\frac{2}{x^2}f(x)$，即$x^2f''(x)+2f(x)=0$。 （2）步骤1：令$x=e^t$，则$\displaystyle \frac{dy}{dx}=e^{-t}\frac{dy}{dt}$，$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=e^{-2t}\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)$，代入得$\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}+2y=0$。 步骤2：特征方程$r^2-r+2=0$，解得$\displaystyle r=\frac{1\pm\sqrt{7}i}{2}$，通解$\displaystyle y=e^{\frac{t}{2}}\left(C_1\cos\frac{\sqrt{7}}{2}t+C_2\sin\frac{\sqrt{7}}{2}t\right)$。 步骤3：回代$x=e^t$得$\displaystyle f(x)=\sqrt{x}\left(C_1\cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\ln x\right)+C_2\sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\ln x\right)\right)$。 **难度**：★★★☆☆