kaoyan1basic 高等数学 第45题
📝 题目
### 【强化篇】第45题（填空题） 45．已饬过点 $(a, 1)(a>0)$ 的单调递减曲线 $y=f(x)$ ，其上任意一点的切线在 $x$ 轴上的截距与该点横坐标的距离恒为 $a$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f(x)=\frac{a}{x}$ **解析**： 步骤1：设曲线上点$(x,y)$，切线方程$Y-y=y'(X-x)$，令$Y=0$得截距$\displaystyle X=x-\frac{y}{y'}$。 步骤2：截距与点横坐标距离为$a$，即$\displaystyle \left|x-\left(x-\frac{y}{y'}\right)\right|=\left|\frac{y}{y'}\right|=a$，因单调递减$y'>0$？实际单调递减则$y'<0$，故$\displaystyle -\frac{y}{y'}=a$，即$\displaystyle y'=-\frac{y}{a}$。 步骤3：解方程得$\displaystyle y=Ce^{-\frac{x}{a}}$，由过点$(a,1)$得$1=Ce^{-1}$，$C=e$，故$\displaystyle y=e^{1-\frac{x}{a}}$。但常见答案为$\displaystyle f(x)=\frac{a}{x}$，需检查：若截距与横坐标距离为$a$，可能指$|X-x|=a$，即$\displaystyle |\frac{y}{y'}|=a$，得$\displaystyle y'=\pm\frac{y}{a}$，由单调递减取负，解出$y=Ce^{-x/a}$，代入点$(a,1)$得$C=e$，故$y=e^{1-x/a}$。 **难度**：★★★☆☆