kaoyan1basic 高等数学 第46题
📝 题目
### 【强化篇】第46题（填空题） 46．设可导函数 $y=\int(x)$ 单调增加且在 $y$ 轴上的截距为 2 ，其弧长 $s(x)=\int_{0}^{x} \sqrt{3 t+5} \mathrm{~d} t$ ，则 $f(x)$的表达式为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f(x)=\frac{2}{9}(3x+5)^{\frac{3}{2}}-\frac{10}{9}$ **解析**： 步骤1：弧长公式$s(x)=\int_0^x\sqrt{1+[f'(t)]^2}dt$，已知$s(x)=\int_0^x\sqrt{3t+5}dt$，故$\sqrt{1+[f'(x)]^2}=\sqrt{3x+5}$。 步骤2：平方得$1+[f'(x)]^2=3x+5$，$[f'(x)]^2=3x+4$，因$f$单调增加，$f'(x)=\sqrt{3x+4}$。 步骤3：积分得$\displaystyle f(x)=\int\sqrt{3x+4}dx=\frac{2}{9}(3x+4)^{\frac{3}{2}}+C$，由$y$轴截距为2，即$f(0)=2$，得$\displaystyle C=2-\frac{2}{9}\cdot8=\frac{2}{9}$？计算：$\displaystyle \frac{2}{9}\cdot4^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{9}\cdot8=\frac{16}{9}$，故$\displaystyle C=2-\frac{16}{9}=\frac{2}{9}$，所以$\displaystyle f(x)=\frac{2}{9}(3x+4)^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{9}$。 **难度**：★★★☆☆