kaoyan1basic 高等数学 第47题
📝 题目
### 【强化篇】第47题（填空题） 47．微分方程 $2 y^{\prime \prime}=3 y^{2}$ 满足初始条件 $y(-2)=1, y^{\prime}(-2)=1$ 的特解为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y=\frac{4}{(x+4)^2}$ **解析**： 步骤1：方程$2y''=3y^2$，令$y'=p$，则$\displaystyle y''=p\frac{dp}{dy}$，代入得$\displaystyle 2p\frac{dp}{dy}=3y^2$。 步骤2：分离变量$2pdp=3y^2dy$，积分得$p^2=y^3+C_1$。由$y(-2)=1,y'(-2)=1$得$1=1+C_1$，$C_1=0$，故$p^2=y^3$，即$\displaystyle y'=y^{\frac{3}{2}}$（取正，因$y'(-2)=1>0$）。 步骤3：分离变量$\displaystyle y^{-\frac{3}{2}}dy=dx$，积分得$\displaystyle -2y^{-\frac{1}{2}}=x+C_2$，由$y(-2)=1$得$-2=-2+C_2$，$C_2=0$，故$\displaystyle y^{-\frac{1}{2}}=-\frac{x}{2}$，即$\displaystyle y=\frac{4}{x^2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：降阶处理
方程2y''=3y^2不显含x，令y'=p，则y''=p dp/dy，代入得2p dp/dy=3y^2。
公式：y'' = p \frac{dp}{dy}
提示：对于不显含x的二阶微分方程，常用此降阶法。
步骤 2/3
目标：分离变量并积分
分离变量得2p dp = 3y^2 dy，积分得p^2 = y^3 + C1。代入初始条件y(-2)=1, y'(-2)=1得1=1+C1，故C1=0，所以p^2=y^3，即y'=y^(3/2)（取正号）。
公式：p^2 = y^3 + C_1
提示：注意初始条件确定常数，并判断正负号。
步骤 3/3
目标：再次分离变量并积分
由y'=y^(3/2)得dy/dx = y^(3/2)，分离变量得y^(-3/2) dy = dx，积分得-2y^(-1/2) = x + C2。代入y(-2)=1得-2 = -2 + C2，故C2=0，所以y^(-1/2) = -x/2，即y = 4/x^2。
公式：\int y^{-3/2} dy = \int dx
提示：积分时注意幂函数积分公式，并利用初始条件确定常数。
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