kaoyan1basic 高等数学 第48题
📝 题目
### 【强化篇】第48题（解答题） 48．设平面曲线 $y=y(x)$ 满足 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=0$ ，且对曲线上任意点 $P(x, y)(x>0)$ ，沿曲线
从点 $(0,1)$ 到点 $P(x, y)$ 的弧长等于该曲线在点 $P(x, y)$ 的切线斜率． （1）求 $y(x)(x>0)$ ； （2）求 $y(x)$ 与 $x=\ln 2$ 及坐标轴所围平面区域 $D$ 的形心。
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle y(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$；（2）形心$\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ **解析**： （1）步骤1：弧长$s(x)=\int_0^x\sqrt{1+[y'(t)]^2}dt$，切线斜率$y'(x)$，由题意$\int_0^x\sqrt{1+[y'(t)]^2}dt=y'(x)$。 步骤2：两边对$x$求导得$\sqrt{1+[y'(x)]^2}=y''(x)$，即$y''=\sqrt{1+(y')^2}$。 步骤3：令$p=y'$，则$p'=\sqrt{1+p^2}$，分离变量$\displaystyle \frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=dx$，积分得$\ln(p+\sqrt{1+p^2})=x+C_1$，由$y'(0)=0$得$C_1=0$，故$p+\sqrt{1+p^2}=e^x$，解得$\displaystyle p=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$。 步骤4：积分得$\displaystyle y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}+C_2$，由$y(0)=1$得$C_2=0$，故$\displaystyle y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$。 （2）步骤1：区域由$y=\cosh x$，$x=\ln2$，$x$轴和$y$轴围成，面积$\displaystyle A=\int_0^{\ln2}\cosh xdx=\sinh(\ln2)=\frac{3}{4}$。 步骤2：形心横坐标$\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{A}\int_0^{\ln2}x\cosh xdx$，计算得$\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{2}$；纵坐标$\displaystyle \bar{y}=\frac{1}{A}\int_0^{\ln2}\frac{1}{2}\cosh^2 xdx$，计算得$\displaystyle \bar{y}=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★★☆