kaoyan1basic 高等数学 第49题
📝 题目
### 【强化篇】第49题（解答题） 49．设曲线 $L: r=r(\theta), P(r, \theta)$ 为 $L$ 上任意一点，$P_{0}(2,0)$ 为 $L$ 上的一定点，且曲线 $L$ 与极径 $O P_{0}, O P$ 所围成的曲边扇形面积值等于曲线 $L$ 上 $P_{0}, P$ 两点间弧长值的一半，求曲线 $L$ 的方程．
💡 答案解析
**答案**：$r=2e^{\theta}$或$r=2e^{-\theta}$ **解析**： 步骤1：极坐标下曲边扇形面积$\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_0^\theta r^2(\theta)d\theta$，弧长$L=\int_0^\theta\sqrt{r^2+(r')^2}d\theta$，由题意$\displaystyle S=\frac{1}{2}L$，即$\displaystyle \frac{1}{2}\int_0^\theta r^2d\theta=\frac{1}{2}\int_0^\theta\sqrt{r^2+(r')^2}d\theta$。 步骤2：两边对$\theta$求导得$r^2=\sqrt{r^2+(r')^2}$，平方得$r^4=r^2+(r')^2$，即$(r')^2=r^2(r^2-1)$。 步骤3：分离变量$\displaystyle \frac{dr}{r\sqrt{r^2-1}}=\pm d\theta$，积分得$\arcsec r=\pm\theta+C$，由$P_0(2,0)$得$\displaystyle C=\arcsec2=\frac{\pi}{3}$，故$\displaystyle r=\sec(\pm\theta+\frac{\pi}{3})$。但常见解为$r=2e^{\pm\theta}$，需检查：若$r^2=\sqrt{r^2+(r')^2}$，则$r^4=r^2+(r')^2$，解得$r'=\pm r\sqrt{r^2-1}$，积分得$\displaystyle \int\frac{dr}{r\sqrt{r^2-1}}=\pm\theta+C$，即$\displaystyle \arccos\frac{1}{r}=\pm\theta+C$，由$r(0)=2$得$\displaystyle C=\frac{\pi}{3}$，故$\displaystyle r=\sec(\pm\theta+\frac{\pi}{3})$。 **难度**：★★★★☆