kaoyan1basic 高等数学 第50题
📝 题目
### 【强化篇】第50题（解答题） 50．设第一象限中有一光滑凹曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴相切于 $(1,0)$ ，其上任意两点 $A, B$ 之间的弧长等于曲线在 $A, B$ 点的切线在 $y$ 轴上的截距之间的距离，求 $f(x)$ 的表达式。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}(e^{x-1}+e^{1-x})$ **解析**： 步骤1：设曲线上两点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，弧长$\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+(y')^2}dx$。切线在$y$轴截距：切线方程$Y-y=y'(X-x)$，令$X=0$得截距$Y=y-xy'$。 步骤2：两点截距距离$|(y_1-x_1y_1')-(y_2-x_2y_2')|$，由题意等于弧长，对任意两点成立，故被积函数满足$\sqrt{1+(y')^2}=|(y-xy')'|$，即$\sqrt{1+(y')^2}=|y'-y'-xy''|=|xy''|$。 步骤3：因曲线光滑凹，$y''>0$，故$xy''=\sqrt{1+(y')^2}$。令$p=y'$，则$xp'=\sqrt{1+p^2}$，分离变量$\displaystyle \frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=\frac{dx}{x}$，积分得$\ln(p+\sqrt{1+p^2})=\ln x+C_1$，即$p+\sqrt{1+p^2}=Cx$。 步骤4：由与$x$轴相切于$(1,0)$，则$y(1)=0,y'(1)=0$，代入得$0+1=C\cdot1$，$C=1$，故$p+\sqrt{1+p^2}=x$，解得$\displaystyle p=\frac{x^2-1}{2x}$。 步骤5：积分得$\displaystyle y=\int\frac{x^2-1}{2x}dx=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}\ln x+C_2$，由$y(1)=0$得$\displaystyle C_2=-\frac{1}{4}$，故$\displaystyle y=\frac{1}{4}(x^2-1)-\frac{1}{2}\ln x$。 **难度**：★★★★☆