kaoyan1basic 高等数学 第52题
📝 题目
### 【强化篇】第52题（解答题） 52．欧拉方程 $\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+4 x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=0(x>0)$ 的通解为
## 第16章 无穷级数
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle y = \frac{C_1}{x} + \frac{C_2}{x^2}$ **解析**：令$x = e^t$，则$x>0$。原方程化为$\displaystyle \frac{d^2y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = 0$。特征方程为$r^2+3r+2=0$，解得$r_1=-1, r_2=-2$。通解为$\displaystyle y = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-2t} = \frac{C_1}{x} + \frac{C_2}{x^2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别方程类型并引入变量代换
观察到方程为欧拉方程，令 x = e^t，则 x > 0。原方程化为关于 t 的常系数线性微分方程。
公式：x = e^t, \frac{dy}{dx} = e^{-t} \frac{dy}{dt}, \frac{d^2y}{dx^2} = e^{-2t} \left( \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right)
提示：欧拉方程的标准形式为 x^n y^{(n)} + ... = 0，通过代换 x = e^t 可化为常系数方程。
步骤 2/4
目标：将原方程化为关于 t 的常系数微分方程
代入代换公式：x^2 y'' = e^{2t} * e^{-2t} (y''_t - y'_t) = y''_t - y'_t；4x y' = 4 e^t * e^{-t} y'_t = 4 y'_t。原方程变为 (y''_t - y'_t) + 4 y'_t + 2y = 0，即 y''_t + 3 y'_t + 2y = 0。
公式：\frac{d^2y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = 0
提示：注意计算过程中指数项抵消，确保系数正确。
步骤 3/4
目标：求解常系数线性齐次微分方程
写出特征方程 r^2 + 3r + 2 = 0，解得 r1 = -1, r2 = -2。因此通解为 y = C1 e^{-t} + C2 e^{-2t}。
公式：r^2 + 3r + 2 = 0 \Rightarrow r = -1, -2
提示：特征根为实根且不等，通解形式为指数函数线性组合。
步骤 4/4
目标：将解代回原变量 x
由 x = e^t 得 t = ln x，代入通解：y = C1 e^{-ln x} + C2 e^{-2ln x} = C1 x^{-1} + C2 x^{-2}。
公式：y = \frac{C_1}{x} + \frac{C_2}{x^2}
提示：注意指数运算：e^{-ln x} = 1/x，e^{-2ln x} = 1/x^2。
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