kaoyan1basic 高等数学 第7题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第7题（解答题） 7．设函数 $y=y(x)$ 满足 $(1-x) y^{\prime}+2 y=0, y(0)=1, a_{n}(x)=\int_{0}^{x} y(t) \sin ^{n} t \mathrm{~d} t, n=1,2, \cdots$ ． （1）求 $y(x)$ 的表达式； （2）证明 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$（1）收敛。

💡 答案解析

**答案**：（1）$\displaystyle y(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$；（2）收敛 **解析**：（1）微分方程$(1-x)y'+2y=0$分离变量得$\displaystyle \frac{dy}{y} = -\frac{2dx}{1-x}$，积分得$\ln|y| = 2\ln|1-x| + C$，即$y = C(1-x)^2$。由$y(0)=1$得$C=1$，故$\displaystyle y(x)=\frac{1}{(1-x)^2}$。 （2）$\displaystyle a_n = \int_0^x \frac{\sin^n t}{(1-t)^2} dt$，其中$x$为某固定值（题目未明确，通常视为常数）。当$n\to\infty$时，$\sin^n t$在$[0,x]$上（$x<1$）一致趋于0，故$a_n$衰减很快。更精确地，$\displaystyle |a_n| \le \int_0^x \frac{|\sin t|^n}{(1-t)^2} dt \le \frac{1}{(1-x)^2} \int_0^x |\sin t|^n dt$，而$\displaystyle \int_0^x |\sin t|^n dt \le \int_0^{\pi/2} \sin^n t dt = \frac{\sqrt{\pi}\Gamma((n+1)/2)}{2\Gamma(n/2+1)} \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$，故$\sum a_n$收敛（由比较判别法，与$\sum 1/n^{3/2}$比较）。若$x$为变量，则需具体说明，但通常视为常数，级数收敛。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：求解微分方程 (1-x)y' + 2y = 0 满足 y(0)=1 的解
分离变量得 dy/y = -2dx/(1-x)，积分得 ln|y| = 2ln|1-x| + C，即 y = C(1-x)^2。代入 y(0)=1 得 C=1，故 y(x)=1/(1-x)^2。
公式：y = C(1-x)^2
提示：注意分离变量时，分母 1-x 不能为零，但初始条件 x=0 处有效。
步骤 2/2
目标：写出 a_n 的表达式并证明级数 ∑ a_n 收敛
a_n(x) = ∫_0^x y(t) sin^n t dt = ∫_0^x sin^n t / (1-t)^2 dt。由于 x 是固定常数且通常 x<1，被积函数在 [0,x] 上连续。当 n→∞ 时，sin^n t 在 [0,x] 上一致趋于 0（除 t=0 外），故 a_n 衰减很快。严格证明：|a_n| ≤ ∫_0^x |sin t|^n/(1-t)^2 dt ≤ 1/(1-x)^2 ∫_0^x |sin t|^n dt。而 ∫_0^x |sin t|^n dt ≤ ∫_0^{π/2} sin^n t dt = √π Γ((n+1)/2) / (2Γ(n/2+1)) ~ √(π/(2n))。因此 ∑ a_n 收敛（与 p=3/2 的 p-级数比较）。
公式：a_n = ∫_0^x sin^n t/(1-t)^2 dt
提示：注意 x 应小于 1 以保证分母不为零；利用 Wallis 公式估计积分。

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