kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（选择题） 6．设 $\lambda>0$ 是常数，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{\lambda+2 n^{2}}{n^{3}}()$ 。 （A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）敛散性与 $\lambda$ 有关
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：通项$\displaystyle u_n = (-1)^n \sin\frac{\lambda+2n^2}{n^3}$。当$n\to\infty$时，$\displaystyle \frac{\lambda+2n^2}{n^3} \sim \frac{2}{n}$，故$\displaystyle \sin\frac{\lambda+2n^2}{n^3} \sim \frac{2}{n}$。则$\displaystyle |u_n| \sim \frac{2}{n}$，$\sum |u_n|$发散。但考虑$\displaystyle v_n = \sin\frac{\lambda+2n^2}{n^3}$，由于$\displaystyle \frac{\lambda+2n^2}{n^3} = \frac{2}{n} + \frac{\lambda}{n^3}$，$\displaystyle \sin\frac{2}{n} \sim \frac{2}{n}$，且$\sin x$在$x$小时单调，故$v_n$单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法，$\sum (-1)^n v_n$条件收敛。但注意$v_n$并非单调，需谨慎。实际上，$v_n = \sin(2/n + \lambda/n^3)$，当$n$充分大时，$2/n$递减，$\lambda/n^3$递减，故整体递减，满足莱布尼茨条件，故原级数条件收敛。但选项C为绝对收敛，错误。需重新判断：$\displaystyle |u_n| = |\sin\frac{\lambda+2n^2}{n^3}|$，由于$\displaystyle \frac{\lambda+2n^2}{n^3} \to 0$，故$\displaystyle \sin\frac{\lambda+2n^2}{n^3} \sim \frac{\lambda+2n^2}{n^3} \sim \frac{2}{n}$，故$\sum |u_n|$发散，原级数非绝对收敛。因此为条件收敛，选B。 **难度**：★★★☆☆