kaoyan1basic 高等数学 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}-u_{n}\right)$ 收敛，则下列级数中收敛的是（ ）。 （A）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_{n}}{n}$ （B）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{u_{n}}$ （C）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right)$ （D）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}^{2}-u_{n}^{2}\right)$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：$\sum (u_{n+1}-u_n)$收敛，则$\lim_{n\to\infty} u_n$存在（设为$l$）。A错误，反例：$u_n=1$，则$\sum (u_{n+1}-u_n)=0$收敛，但$\sum 1/n$发散。B错误，$u_n$可能为0。C错误，$\displaystyle 1-\frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}}$，若$u_n\to 0$，则通项不趋于0。D正确，$u_{n+1}^2-u_n^2 = (u_{n+1}-u_n)(u_{n+1}+u_n)$，由于$\sum (u_{n+1}-u_n)$收敛且$u_n$有界，故$\sum (u_{n+1}^2-u_n^2)$收敛（部分和$u_{n+1}^2-u_1^2$有极限）。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析已知条件
已知级数 ∑(u_{n+1} - u_n) 收敛，根据级数收敛的必要条件，通项趋于0，即 lim_{n→∞} (u_{n+1} - u_n) = 0。进一步，部分和 S_n = u_{n+1} - u_1 收敛，故 lim_{n→∞} u_n 存在，记为 l。
公式：lim_{n→∞} u_n = l
提示：注意部分和与通项的关系。
步骤 2/5
目标：判断选项A
考虑反例：取 u_n = 1，则 ∑(u_{n+1} - u_n) = 0 收敛，但 ∑ u_n/n = ∑ 1/n 发散，故A错误。
提示：构造常数数列即可。
步骤 3/5
目标：判断选项B
级数 ∑(-1)^n * 1/u_n 中，u_n 可能为0，导致通项无定义，故B错误。
提示：注意分母不能为0。
步骤 4/5
目标：判断选项C
通项 1 - u_n/u_{n+1} = (u_{n+1} - u_n)/u_{n+1}。若 u_n → 0，则分母趋于0，通项可能不趋于0，例如取 u_n = 1/n，则 ∑(u_{n+1} - u_n) 收敛，但通项 1 - u_n/u_{n+1} = 1 - n/(n+1) = 1/(n+1) 不趋于0，故级数发散。因此C错误。
公式：1 - u_n/u_{n+1} = (u_{n+1} - u_n)/u_{n+1}
提示：考虑 u_n → 0 的情况。
步骤 5/5
目标：判断选项D
通项 u_{n+1}^2 - u_n^2 = (u_{n+1} - u_n)(u_{n+1} + u_n)。由于 ∑(u_{n+1} - u_n) 收敛且 u_n 有界（因为极限存在），故部分和 u_{n+1}^2 - u_1^2 有极限，即级数收敛。因此D正确。
公式：u_{n+1}^2 - u_n^2 = (u_{n+1} - u_n)(u_{n+1} + u_n)
提示：利用部分和形式。
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