kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设 $\sum_{n-1}^{\infty} u_{n}$ 为任意项级数，记 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right), b_{n}=\frac{1}{2}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ ，则当 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛时，以下结论： （1）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛； （2）$\sum_{n-1}^{\cdots}\left(a_{n}-b_{n}\right)$ 发散； （3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} a_{k}}{\sum_{k=1}^{n} b_{k}}=-1$ ．
正确结论的个数为（ ）。 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$\displaystyle a_n = \frac{u_n+|u_n|}{2}$，$\displaystyle b_n = \frac{u_n-|u_n|}{2}$，则$a_n \ge 0$，$b_n \le 0$，且$u_n = a_n+b_n$，$|u_n| = a_n - b_n$。$\sum u_n$条件收敛，则$\sum |u_n|$发散，$\sum u_n$收敛。故$\sum (a_n+b_n)$收敛，$\sum (a_n-b_n)$发散。由此，$\sum a_n$和$\sum b_n$均发散（否则若均收敛，则$\sum |u_n|$收敛，矛盾）。故(1)错误。$\sum (a_n-b_n) = \sum |u_n|$发散，(2)正确。对于(3)，$\displaystyle \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{\sum_{k=1}^n b_k}$，由于$\sum a_k$和$\sum b_k$均发散到无穷，且$u_n = a_n+b_n$，$\sum u_n$收敛，故$\sum a_n$和$-\sum b_n$同阶无穷大，极限为-1，(3)正确。故正确结论个数为2。 **难度**：★★★★☆