kaoyan1basic 高等数学 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．设 $u_{n}=\sqrt{\arctan (n+k)-\arctan n}, k$ 为正常数，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}(\quad)$ 。 （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）玫散性与 $k$ 有关
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：$u_n = \sqrt{\arctan(n+k)-\arctan n}$。由拉格朗日中值定理，$\displaystyle \arctan(n+k)-\arctan n = \frac{k}{1+\xi^2}$，其中$\xi\in(n,n+k)$，故$\displaystyle u_n = \sqrt{\frac{k}{1+\xi^2}} \sim \sqrt{\frac{k}{n^2}} = \frac{\sqrt{k}}{n}$（当$n\to\infty$）。故$\sum u_n$发散（与调和级数同阶），而$\sum (-1)^n u_n$为交错级数，$u_n$单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法，级数条件收敛。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析通项 u_n 的渐近行为
由拉格朗日中值定理，存在 ξ∈(n, n+k) 使得 arctan(n+k)-arctan n = k/(1+ξ^2)，因此 u_n = √[k/(1+ξ^2)]。当 n→∞ 时，ξ~n，故 u_n ~ √(k/n^2) = √k / n。
公式：arctan(n+k)-arctan n = k/(1+ξ^2), ξ∈(n,n+k)
提示：利用中值定理将差转化为导数形式，便于估计阶数。
步骤 2/4
目标：判断正项级数 ∑ u_n 的敛散性
由于 u_n ~ √k / n，而 ∑ 1/n 发散，故 ∑ u_n 发散。
公式：比较判别法：若 u_n ~ C/n，则 ∑ u_n 发散
提示：与调和级数比较，注意常数因子不影响发散性。
步骤 3/4
目标：判断交错级数 ∑ (-1)^n u_n 的敛散性
u_n 单调递减趋于 0（因为 arctan 递增且增速递减），由莱布尼茨判别法，交错级数收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若 u_n 递减趋于 0，则 ∑ (-1)^n u_n 收敛
提示：验证单调性：u_n = √[arctan(n+k)-arctan n] 随 n 增大而减小。
步骤 4/4
目标：综合判断绝对收敛还是条件收敛
正项级数 ∑ u_n 发散，而交错级数 ∑ (-1)^n u_n 收敛，故原级数条件收敛。
提示：条件收敛的定义：级数收敛但绝对值级数发散。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。