kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设常数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛，$r$ 是实数，则（ ）． （A）当 $|r| \geqslant 1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} r^{n}$ 发散 （B）当 $|r| \leqslant 1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散 （C）当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1} r^{2 n-1}$ 发散时，$|r| \geqslant 1$ （D）当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散时，$|r| \leqslant 1$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：$\sum a_n$条件收敛，则其收敛半径为$R=1$。当$|r|>1$时，$\sum a_n r^n$发散（幂级数收敛半径外发散）；当$|r|=1$时，$r=\pm 1$，此时$\sum a_n$条件收敛，$\sum a_n(-1)^n$可能发散（如$a_n=(-1)^n/n$，则$\sum a_n(-1)^n = \sum 1/n$发散）。故当$|r|\ge 1$时，$\sum a_n r^n$发散。B错误，反例：$a_n=(-1)^n/n$，$r=1$，$\sum a_{2n}r^{2n} = \sum 1/(2n)$发散，但$|r|=1$，非$\le 1$时均发散。C、D逻辑不成立。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
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