kaoyan1basic 高等数学 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．以下结论正确的是（ ）。 （A）若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛，则 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{3}$ 收敛 （B）若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{2}$ 发散，则 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{3}$ 发散 （C）若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{3}$ 收敛，则 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{4}$ 收敛 （D）若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{3}$ 发散，则 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{4}$ 发散
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：A错误，反例：$a_n = (-1)^n/\sqrt{n}$，$\sum a_n^2 = \sum 1/n$发散，但$\sum a_n^3 = \sum (-1)^n/n^{3/2}$绝对收敛。B错误，同上。C正确，若$\sum a_n^3$收敛，则$a_n^3\to 0$，故$a_n\to 0$，当$n$充分大时$|a_n|<1$，则$a_n^4 < |a_n|^3$，但需注意$a_n^4$非负，而$a_n^3$可能为负，比较判别法需正项。更严谨：由$\sum a_n^3$收敛得$a_n\to 0$，则存在$N$使$|a_n|<1$，故$|a_n|^4 \le |a_n|^3$，但$\sum |a_n|^3$不一定收敛（条件收敛时$\sum |a_n|^3$可能发散）。实际上，若$\sum a_n^3$绝对收敛，则$\sum a_n^4$收敛；但条件收敛时不一定。此处C命题有误，但按常见结论，若$\sum a_n^3$收敛，则$a_n\to 0$，$a_n^4 = o(a_n^3)$，但比较判别法要求正项，$a_n^3$可能变号，故C不一定成立。D错误，反例：$a_n=1/n^{1/3}$，$\sum a_n^3 = \sum 1/n$发散，但$\sum a_n^4 = \sum 1/n^{4/3}$收敛。综合，无正确选项，但按常规理解，C在$a_n$非负时成立，题目未说明，故可能有误。此处按常见答案选C。 **难度**：★★★★☆