kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．下列叙述正确的是（ ）。 （A）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}$ 条件收敛 （B）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\left(u_{n}>0\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 收敛 （C）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}<1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛 （D）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+A\right)(A>0)$ 收敛
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：A错误，反例：$u_n=(-1)^{n-1}/n$，$\sum u_n$条件收敛，但$\sum (-1)^{n-1}u_n = \sum 1/n$发散。B正确，若$u_n>0$且$\sum u_n$收敛，则$u_n\to 0$，当$n$充分大时$u_n<1$，故$u_n^2 < u_n$，由比较判别法$\sum u_n^2$收敛。C错误，比值判别法要求极限存在且小于1，但此处未说明$u_n$正项，且极限小于1只能推出$\sum u_n$绝对收敛，但原命题表述不严谨。D错误，$\sum (u_n+A)$发散，因为$\sum A$发散。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析选项A
选项A：若∑u_n收敛，则∑(-1)^{n-1}u_n条件收敛。反例：取u_n=(-1)^{n-1}/n，则∑u_n条件收敛，但∑(-1)^{n-1}u_n=∑1/n发散，故A错误。
提示：注意条件收敛的定义，以及交错级数的性质。
步骤 2/4
目标：分析选项B
选项B：若∑u_n（u_n>0）收敛，则∑u_n^2收敛。由于∑u_n收敛，则u_n→0，当n充分大时0
公式：比较判别法：若0≤a_n≤b_n且∑b_n收敛，则∑a_n收敛。
提示：注意正项级数的比较判别法，以及收敛级数通项趋于0的性质。
步骤 3/4
目标：分析选项C
选项C：若lim_{n→∞} u_{n+1}/u_n < 1，则∑u_n收敛。该命题缺少u_n为正项的条件，且比值判别法只能推出绝对收敛，但原命题未说明绝对收敛。反例：取u_n=(-1)^n/n，则lim|u_{n+1}/u_n|=1，不满足条件；若取u_n=(-1)^n，则极限为1，也不满足。实际上，若u_n非正项，该结论不成立。故C错误。
公式：比值判别法：对于正项级数，若lim u_{n+1}/u_n = ρ<1，则级数收敛。
提示：注意比值判别法的适用条件：正项级数。
步骤 4/4
目标：分析选项D
选项D：若∑u_n收敛，则∑(u_n+A)（A>0）收敛。由于∑A发散，而∑u_n收敛，则∑(u_n+A) = ∑u_n + ∑A发散。故D错误。
公式：收敛级数的线性性质：若∑a_n收敛，∑b_n发散，则∑(a_n+b_n)发散。
提示：注意常数项级数的收敛性：非零常数级数发散。
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