kaoyan1basic 高等数学 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．若 $\sum_{n=1}^{\infty} m u_{n}$ 绝对收敛，则（ ）。 （A）$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}$ 条件收敛 （B）$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}$ 绝对收敛 （C）$\sum_{n=1}^{\infty}\left[u_{n}+(-1)^{n}\right]$ 条件收敛 （D）$\sum_{n=1}^{\infty}\left[u_{n}+(-1)^{n}\right]$ 绝对收敛
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$绝对收敛，则$\sum |u_n|$收敛。考虑$\sum (-1)^n u_n$，其绝对值级数为$\sum |u_n|$，收敛，故$\sum (-1)^n u_n$绝对收敛。对于C和D，$\sum [u_n+(-1)^n]$，由于$\sum (-1)^n$发散，故该级数发散。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解绝对收敛的定义
已知级数 ∑ u_n 绝对收敛，即 ∑ |u_n| 收敛。
公式：∑ |u_n| 收敛
提示：绝对收敛意味着原级数及其绝对值级数都收敛。
步骤 2/4
目标：分析选项B
考虑级数 ∑ (-1)^n u_n，其绝对值级数为 ∑ |(-1)^n u_n| = ∑ |u_n|，由于 ∑ |u_n| 收敛，故 ∑ (-1)^n u_n 绝对收敛。因此选项B正确。
公式：∑ |(-1)^n u_n| = ∑ |u_n|
提示：(-1)^n 的绝对值恒为1，不影响绝对值级数。
步骤 3/4
目标：分析选项A
由上述分析，∑ (-1)^n u_n 绝对收敛，而非条件收敛，故选项A错误。
提示：条件收敛要求原级数收敛但绝对值级数发散。
步骤 4/4
目标：分析选项C和D
考虑级数 ∑ [u_n + (-1)^n]。由于 ∑ (-1)^n 是发散的（通项不趋于0），而 ∑ u_n 收敛，所以该级数发散。因此C和D均错误。
提示：收敛级数与发散级数的和发散。
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