kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛，$\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛，则下列命题： （1）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|a_{n}\right|-\left|b_{n}\right|\right)$ 绝对收敛； （2）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|a_{n}\right|-\left|b_{n}\right|\right)$ 条件收敛； （3）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)$ 绝对收敛； （4）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)$ 条件收敛。
所有正确命题的序号为（ ）。 （A）（1）（3） （B）（1） （C）（2）（4） （D）（4）
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：$\sum a_n$条件收敛，则$\sum |a_n|$发散；$\sum b_n$绝对收敛，则$\sum |b_n|$收敛。对于(1)，$|a_n|-|b_n|$，由于$\sum |a_n|$发散而$\sum |b_n|$收敛，故$\sum (|a_n|-|b_n|)$发散，非绝对收敛。对于(2)，同上，发散，非条件收敛。对于(3)，$a_n-b_n$，$\sum a_n$条件收敛，$\sum b_n$绝对收敛，则$\sum (a_n-b_n)$条件收敛，非绝对收敛。对于(4)，由(3)知条件收敛。故只有(4)正确，对应选项D。但需注意(3)中绝对收敛错误，故正确命题为(4)，选D。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析已知条件
已知∑a_n条件收敛，即∑a_n收敛但∑|a_n|发散；∑b_n绝对收敛，即∑|b_n|收敛。
提示：条件收敛意味着原级数收敛但绝对值级数发散。
步骤 2/4
目标：判断命题(1)和(2)
考虑∑(|a_n|-|b_n|)。由于∑|a_n|发散，∑|b_n|收敛，则∑(|a_n|-|b_n|)发散（因为发散级数减去收敛级数仍发散）。因此(1)和(2)均错误。
提示：发散级数加减收敛级数结果发散。
步骤 3/4
目标：判断命题(3)和(4)
考虑∑(a_n-b_n)。由于∑a_n条件收敛，∑b_n绝对收敛，则∑(a_n-b_n)收敛（收敛级数减收敛级数收敛）。但∑|a_n-b_n|不一定收敛，实际上因为∑|a_n|发散，而∑|b_n|收敛，可证明∑|a_n-b_n|发散，故∑(a_n-b_n)条件收敛。因此(3)错误，(4)正确。
提示：条件收敛级数减去绝对收敛级数得到条件收敛级数。
步骤 4/4
目标：得出正确命题序号
只有命题(4)正确，故选D。
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