kaoyan1basic 高等数学 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（解答题） 2．判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \frac{1}{n}-\ln \sin \frac{1}{n}\right)$ 的敛散性．
💡 答案解析
**答案**：收敛 **解析**：$\displaystyle u_n = \ln\frac{1}{n} - \ln\sin\frac{1}{n} = \ln\frac{1/n}{\sin(1/n)}$。当$n\to\infty$时，$\displaystyle \frac{1}{n}\to 0$，$\displaystyle \sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n} - \frac{1}{6n^3}$，则$\displaystyle \frac{1/n}{\sin(1/n)} \sim \frac{1/n}{1/n - 1/(6n^3)} = \frac{1}{1-1/(6n^2)} \sim 1 + \frac{1}{6n^2}$，故$\displaystyle u_n \sim \frac{1}{6n^2}$。由比较判别法，$\displaystyle \sum \frac{1}{6n^2}$收敛，故原级数收敛。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简通项
将级数的通项 $u_n = \ln\frac{1}{n} - \ln\sin\frac{1}{n}$ 合并为 $\ln\frac{1/n}{\sin(1/n)}$。
公式：$\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$
提示：注意对数运算性质。
步骤 2/5
目标：利用等价无穷小
当 $n\to\infty$ 时，$\frac{1}{n}\to 0$，使用 $\sin x \sim x - \frac{x^3}{6}$，即 $\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n} - \frac{1}{6n^3}$。
公式：$\sin x \sim x - \frac{x^3}{6}$ 当 $x\to 0$
提示：注意等价无穷小的使用条件。
步骤 3/5
目标：化简比值
计算 $\frac{1/n}{\sin(1/n)} \sim \frac{1/n}{1/n - 1/(6n^3)} = \frac{1}{1 - 1/(6n^2)}$，进一步等价于 $1 + \frac{1}{6n^2}$。
公式：$\frac{1}{1-x} \sim 1+x$ 当 $x\to 0$
提示：注意分子分母同时除以 $1/n$。
步骤 4/5
目标：得到通项等价形式
因此 $u_n \sim \ln\left(1 + \frac{1}{6n^2}\right) \sim \frac{1}{6n^2}$。
公式：$\ln(1+x) \sim x$ 当 $x\to 0$
提示：注意等价无穷小的传递性。
步骤 5/5
目标：判断敛散性
由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{6n^2}$ 收敛（$p=2>1$ 的 $p$ 级数），由比较判别法知原级数收敛。
公式：$p$ 级数 $\sum \frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛
提示：比较判别法要求通项非负，这里 $u_n>0$。
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