kaoyan1basic 高等数学 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．对级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a n}{2 n+b}\right)^{n}(a>0, b>0)$ ，下列结论正确的是（ ）。 （A）对任意 $a$ ，级数都收敛 （B）对任意 $a$ ，级数都发散 （C）当 $a \geqslant 2$ 时，级数一定发散 （D）级数的敛散性与 $b$ 有关
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：通项$\displaystyle u_n = \left(\frac{a n}{2n+b}\right)^n$，则$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{a n}{2n+b} = \frac{a}{2}$。由根值判别法，当$\displaystyle \frac{a}{2} > 1$即$a>2$时级数发散；当$\displaystyle \frac{a}{2} < 1$即$a<2$时级数收敛；当$a=2$时，$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = 1$，需进一步判断，但此时$\displaystyle u_n = \left(\frac{2n}{2n+b}\right)^n = \left(1-\frac{b}{2n+b}\right)^n \to e^{-b/2} \neq 0$，级数发散。故当$a \geqslant 2$时级数一定发散。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出通项并应用根值判别法
通项 $u_n = \left(\frac{a n}{2n+b}\right)^n$，计算 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{a n}{2n+b} = \frac{a}{2}$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \frac{a}{2}$
提示：根值判别法适用于通项为 $n$ 次幂的形式。
步骤 2/4
目标：根据根值判别法判断敛散性
当 $\frac{a}{2} > 1$ 即 $a > 2$ 时，级数发散；当 $\frac{a}{2} < 1$ 即 $a < 2$ 时，级数收敛。
公式：若 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$，则 $\rho<1$ 收敛，$\rho>1$ 发散。
提示：注意 $a>0$，所以 $a/2$ 为正。
步骤 3/4
目标：讨论边界情况 $a=2$
当 $a=2$ 时，$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n}=1$，根值判别法失效。此时 $u_n = \left(\frac{2n}{2n+b}\right)^n = \left(1-\frac{b}{2n+b}\right)^n \to e^{-b/2} \neq 0$，故级数发散。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{b}{2n+b}\right)^n = e^{-b/2}$
提示：利用重要极限 $\lim_{n\to\infty} (1+\frac{c}{n})^n = e^c$。
步骤 4/4
目标：综合结论
当 $a \geqslant 2$ 时级数发散，当 $a < 2$ 时级数收敛。因此正确选项为 C。
提示：注意 $a=2$ 时也发散，所以 $a\geqslant2$ 发散。
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