kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} \mathrm{e}^{-n x}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$(0,+\infty)$ **解析**： 步骤1：由斯特林公式，$\displaystyle n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$，则$\displaystyle \frac{n!}{n^n}\sim\sqrt{2\pi n}\,e^{-n}$。 步骤2：通项$\displaystyle \frac{n!}{n^n}e^{-nx}\sim\sqrt{2\pi n}\,e^{-n(1+x)}$。 步骤3：当$x>0$时，$e^{-n(1+x)}$衰减快，级数收敛；当$x=0$时，通项$\sim\sqrt{2\pi n}$发散；当$x<0$时，通项增长，发散。故收敛域为$(0,+\infty)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：估计通项的量级
使用斯特林公式 n! ~ √(2πn) (n/e)^n，代入通项得到 (n!/n^n) e^{-nx} ~ √(2πn) e^{-n(1+x)}。
公式：n! ~ √(2πn) (n/e)^n
提示：斯特林公式用于处理阶乘与幂的比值，注意近似后的形式。
步骤 2/3
目标：分析不同x取值下的收敛性
当 x>0 时，e^{-n(1+x)} 指数衰减，级数收敛；当 x=0 时，通项 ~ √(2πn)，通项不趋于0，级数发散；当 x<0 时，通项指数增长，发散。
公式：通项 ~ √(2πn) e^{-n(1+x)}
提示：注意指数项 e^{-n(1+x)} 的指数符号决定收敛性。
步骤 3/3
目标：确定收敛域
综合以上，级数收敛当且仅当 x>0，故收敛域为 (0, +∞)。
提示：收敛域通常为开区间，注意边界点需单独判断。
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