kaoyan1basic 高等数学 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设 $n$ 为正整数，$y=y_{n}(x)$ 是微分方程 $x y^{\prime}-n y=0$ 满足条件 $y_{n}(1)=(n+1)(n+3)$ 的解。 （1）求 $y_{n}(x)$ ； （2）求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} y_{n}(x)$ 的收敛域及和函数．
💡 答案解析
**答案**：（1）$y_n(x)=(n+1)(n+3)x^n$；（2）收敛域$|x|<1$，和函数$\displaystyle S(x)=\frac{3x^2-4x+3}{(1-x)^3}$ **解析**： （1）步骤1：解微分方程$xy'-ny=0$，分离变量得$\displaystyle \frac{dy}{y}=n\frac{dx}{x}$，积分得$\ln|y|=n\ln|x|+C$，即$y=Cx^n$。 步骤2：代入$y_n(1)=(n+1)(n+3)$得$C=(n+1)(n+3)$，故$y_n(x)=(n+1)(n+3)x^n$。 （2）步骤1：级数$\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)(n+3)x^n$，收敛半径$R=1$，端点$x=\pm1$时通项不趋于0，故收敛域$|x|<1$。 步骤2：和函数$S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(n^2+4n+3)x^n=\sum_{n=1}^{\infty}n^2x^n+4\sum_{n=1}^{\infty}nx^n+3\sum_{n=1}^{\infty}x^n$。 步骤3：利用$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}$，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n^2x^n=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$，代入得$\displaystyle S(x)=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}+\frac{4x}{(1-x)^2}+\frac{3x}{1-x}=\frac{3x^2-4x+3}{(1-x)^3}$。 **难度**：★★★☆☆