kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
### 【基础篇】第10题（填空题） 10．设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-x-1}{x^{2}(x+1)}$ 的幂级数展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}, x \in(0,2)$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n} a_{n}}{\sqrt{n^{2}+1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：将$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-1}{x^2(x+1)}$分解为部分分式：$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$。 步骤2：在$x=1$处展开：$\displaystyle \frac{1}{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(n+1)(x-1)^n$，$\displaystyle -\frac{1}{x}=-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(x-1)^n$，$\displaystyle \frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}(x-1)^n$。 步骤3：合并得$\displaystyle a_n=(-1)^n(n+1)-(-1)^n+\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}$，故$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n a_n}{\sqrt{n^2+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1-1+\frac{1}{2^{n+1}}}{\sqrt{n^2+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=1$。 **难度**：★★★☆☆