kaoyan1basic 高等数学 第10题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $a_{n}(x)$ 满足

$$ a_{n}^{\prime}(x)-\frac{n}{(1+x) \ln (1+x)} a_{n}(x)+\ln ^{n}(1+x)=0, x>0, n=1,2, \cdots, a_{n}(1)=0 . $$

（1）求 $a_{n}(x)$ 的表达式； （2）判别 $\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{1} a_{n}(x) \mathrm{d} x$ 的敛散性。

💡 答案解析

**答案**：（1）$a_n(x)=\ln^{n+1}(1+x)-\ln^{n+1}2$；（2）收敛 **解析**： （1）步骤1：一阶线性微分方程，通解公式：$\displaystyle a_n(x)=e^{\int\frac{n}{(1+x)\ln(1+x)}dx}\left(-\int\ln^n(1+x)e^{-\int\frac{n}{(1+x)\ln(1+x)}dx}dx+C\right)$。 步骤2：计算$\displaystyle \int\frac{n}{(1+x)\ln(1+x)}dx=n\ln|\ln(1+x)|$，故$e^{\int}=(\ln(1+x))^n$。 步骤3：代入得$a_n(x)=(\ln(1+x))^n\left(-\int\ln^n(1+x)\cdot(\ln(1+x))^{-n}dx+C\right)=(\ln(1+x))^n\left(-\int dx+C\right)=(\ln(1+x))^n(-x+C)$。 步骤4：由$a_n(1)=0$得$(\ln2)^n(-1+C)=0$，故$C=1$，所以$a_n(x)=(\ln(1+x))^n(1-x)$。 （2）步骤1：$\int_0^1 a_n(x)dx=\int_0^1(1-x)\ln^n(1+x)dx$，在$[0,1]$上$0\le 1-x\le1$，$0\le\ln(1+x)\le\ln2<1$，故$\int_0^1 a_n(x)dx\le\int_0^1(\ln2)^n dx=(\ln2)^n$。 步骤2：$\sum_{n=1}^{\infty}(\ln2)^n$是公比$\ln2<1$的几何级数，收敛，由比较判别法知原级数收敛。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：求解一阶线性微分方程，得到通解形式
方程为一阶线性微分方程，使用通解公式：$a_n(x)=e^{\int P(x)dx}\left(-\int Q(x)e^{-\int P(x)dx}dx+C\right)$，其中$P(x)=\frac{n}{(1+x)\ln(1+x)}$，$Q(x)=\ln^n(1+x)$。
公式：$a_n(x)=e^{\int P dx}\left(-\int Q e^{-\int P dx}dx+C\right)$
提示：注意一阶线性微分方程的标准形式：$y'+P(x)y=Q(x)$。
步骤 2/6
目标：计算积分因子 $e^{\int P(x)dx}$
计算 $\int \frac{n}{(1+x)\ln(1+x)}dx = n\ln|\ln(1+x)|$，所以 $e^{\int P dx} = (\ln(1+x))^n$。
公式：$\int \frac{n}{(1+x)\ln(1+x)}dx = n\ln(\ln(1+x))$
提示：注意 $\ln(1+x)>0$ 在 $x>0$ 时成立，绝对值可去掉。
步骤 3/6
目标：代入通解公式并简化
代入得 $a_n(x) = (\ln(1+x))^n \left(-\int \ln^n(1+x) \cdot (\ln(1+x))^{-n} dx + C\right) = (\ln(1+x))^n \left(-\int dx + C\right) = (\ln(1+x))^n (-x+C)$。
公式：$a_n(x) = (\ln(1+x))^n (-x+C)$
提示：注意积分时 $\ln^n(1+x)$ 与 $\ln^{-n}(1+x)$ 相乘得1。
步骤 4/6
目标：利用初始条件确定常数C
由 $a_n(1)=0$ 得 $(\ln 2)^n (-1+C)=0$，因为 $\ln 2 \neq 0$，所以 $C=1$。因此 $a_n(x) = (\ln(1+x))^n (1-x)$。
公式：$a_n(1)=0 \Rightarrow C=1$
提示：注意 $\ln 2 >0$，故因子 $(\ln 2)^n$ 非零。
步骤 5/6
目标：估计积分 $\int_0^1 a_n(x)dx$ 的上界
计算 $\int_0^1 a_n(x)dx = \int_0^1 (1-x)\ln^n(1+x)dx$。在 $[0,1]$ 上，$0 \le 1-x \le 1$，$0 \le \ln(1+x) \le \ln 2 < 1$，所以 $\int_0^1 a_n(x)dx \le \int_0^1 (\ln 2)^n dx = (\ln 2)^n$。
公式：$\int_0^1 a_n(x)dx \le (\ln 2)^n$
提示：利用被积函数的非负性和上界估计。
步骤 6/6
目标：判断级数的敛散性
级数 $\sum_{n=1}^\infty \int_0^1 a_n(x)dx$ 的每一项非负，且 $\int_0^1 a_n(x)dx \le (\ln 2)^n$。而 $\sum_{n=1}^\infty (\ln 2)^n$ 是公比 $r=\ln 2 < 1$ 的几何级数，收敛。由比较判别法，原级数收敛。
公式：$\sum (\ln 2)^n$ 收敛，$\ln 2 < 1$
提示：比较判别法：若 $0 \le b_n \le a_n$ 且 $\sum a_n$ 收敛，则 $\sum b_n$ 收敛。

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