kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（填空题） 11．篇级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \cdot \frac{x^{\frac{n}{2}}}{n}$ 在 $(0,1]$ 内的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \ln\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}$ **解析**： 步骤1：令$t=\sqrt{x}$，则$x\in(0,1]$对应$t\in(0,1]$，级数化为$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}$。 步骤2：已知$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}=\ln(1+t)$，$|t|\le1$。 步骤3：故$S(x)=\ln(1+\sqrt{x})$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简级数形式
令 t = √x，则 x ∈ (0,1] 对应 t ∈ (0,1]，原级数化为 ∑_{n=1}^{∞} (-1)^{n-1} t^n / n。
公式：t = √x
提示：通过变量代换将复杂幂次转化为简单形式。
步骤 2/3
目标：利用已知级数求和公式
已知 ∑_{n=1}^{∞} (-1)^{n-1} t^n / n = ln(1+t)，|t| ≤ 1。
公式：∑_{n=1}^{∞} (-1)^{n-1} t^n / n = ln(1+t)
提示：这是常见麦克劳林级数，需熟记。
步骤 3/3
目标：回代得到和函数
将 t = √x 代入，得 S(x) = ln(1+√x)。
公式：S(x) = ln(1+√x)
提示：注意定义域 x ∈ (0,1] 对应 t ∈ (0,1]，级数收敛。
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