kaoyan1basic 高等数学 第11题
📝 题目
### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设 $u_{n}=\int_{0}^{1} x(1-x) \sin ^{2 n} x \mathrm{~d} x$ ，讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的玫散性．
💡 答案解析
**答案**：收敛 **解析**： 步骤1：$u_n=\int_0^1 x(1-x)\sin^{2n}x\,dx$，在$[0,1]$上$\displaystyle 0\le x(1-x)\le\frac{1}{4}$，$0\le\sin x\le\sin1<1$。 步骤2：故$\displaystyle 0\le u_n\le\frac{1}{4}\int_0^1\sin^{2n}x\,dx\le\frac{1}{4}(\sin1)^{2n}$。 步骤3：$\sum_{n=1}^{\infty}(\sin1)^{2n}$是公比$(\sin1)^2<1$的几何级数，收敛，由比较判别法知$\sum u_n$收敛。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：估计被积函数的上界
在区间[0,1]上，x(1-x)的最大值为1/4，且sin x ≤ sin1 < 1，因此0 ≤ x(1-x) sin^(2n)x ≤ (1/4) sin^(2n)x。
公式：0 ≤ x(1-x) ≤ 1/4, 0 ≤ sin x ≤ sin1 < 1
提示：注意sin1<1，因为1<π/2，sin1<1。
步骤 2/3
目标：积分得到u_n的上界
对不等式两边在[0,1]上积分，得到0 ≤ u_n ≤ (1/4) ∫_0^1 sin^(2n)x dx ≤ (1/4) (sin1)^(2n)。
公式：u_n ≤ (1/4)(sin1)^(2n)
提示：积分后sin^(2n)x的上界取最大值sin1的2n次方。
步骤 3/3
目标：判断级数的收敛性
考虑级数∑ (sin1)^(2n) = ∑ [(sin1)^2]^n，公比q=(sin1)^2 < 1，因此该几何级数收敛。由比较判别法，0 ≤ u_n ≤ (1/4)(sin1)^(2n)，且∑ (1/4)(sin1)^(2n)收敛，故∑ u_n收敛。
公式：∑ (sin1)^(2n) 收敛，公比q=(sin1)^2<1
提示：比较判别法：若0≤a_n≤b_n且∑b_n收敛，则∑a_n收敛。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。