kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（填空题） 12．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) 2^{n}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \ln2-\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：考虑$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}$，求导得$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}$，积分得$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}=-x-\ln(1-x)$。 步骤2：令$\displaystyle x=\frac{1}{2}$，则$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)2^{n+1}}=-\frac{1}{2}-\ln\frac{1}{2}=\ln2-\frac{1}{2}$。 步骤3：原式$\displaystyle =2\left(\ln2-\frac{1}{2}\right)=2\ln2-1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造幂级数并求和函数
考虑幂级数 S(x) = ∑_{n=1}^∞ x^{n+1}/(n+1)，对其求导得 S'(x) = ∑_{n=1}^∞ x^n = x/(1-x) (|x|<1)。
公式：∑_{n=1}^∞ x^n = x/(1-x)
提示：注意求和从n=1开始，等比数列求和公式
步骤 2/4
目标：积分得到和函数
对S'(x)从0到x积分，利用S(0)=0，得 S(x) = ∫_0^x t/(1-t) dt = -x - ln(1-x)。
公式：∫_0^x t/(1-t) dt = -x - ln(1-x)
提示：积分时注意常数项，可用分部积分或直接积分
步骤 3/4
目标：代入x=1/2求值
令x=1/2，则 S(1/2) = ∑_{n=1}^∞ (1/2)^{n+1}/(n+1) = -1/2 - ln(1/2) = ln2 - 1/2。
公式：S(1/2) = ln2 - 1/2
提示：注意ln(1/2) = -ln2
步骤 4/4
目标：计算原级数
原级数 ∑_{n=1}^∞ 1/[(n+1)2^n] = 2 * ∑_{n=1}^∞ 1/[(n+1)2^{n+1}] = 2 * S(1/2) = 2(ln2 - 1/2) = 2ln2 - 1。
公式：原式 = 2ln2 - 1
提示：注意分母2^n与2^{n+1}的关系
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