kaoyan1basic 高等数学 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（选择题） 12．若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} m a_{n}(x+2)^{n}$ 在 $x=-\sqrt{2}$ 处（ ）。 （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）敛散性不能确定
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$\sum a_n$条件收敛，则收敛半径$R=1$（中心为0），且$x=1$处条件收敛。 步骤2：幂级数$\sum n a_n(x+2)^n$的收敛中心为$x=-2$，收敛半径仍为$1$，即$|x+2|<1$，得$-3
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定原级数的收敛半径和收敛区间
由于数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，根据阿贝尔定理，幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径 $R=1$，且 $x=1$ 处条件收敛。
公式：阿贝尔定理：若 $\sum a_n x^n$ 在 $x=x_0$ 收敛，则当 $|x|<|x_0|$ 时绝对收敛。
提示：条件收敛点位于收敛区间端点。
步骤 2/4
目标：分析目标幂级数的收敛半径和收敛区间
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x+2)^n$ 的收敛中心为 $x=-2$，系数 $n a_n$ 不影响收敛半径，因此收敛半径仍为 $R=1$。收敛区间为 $|x+2|<1$，即 $-3
公式：幂级数 $\sum n a_n (x+2)^n$ 的收敛半径与 $\sum a_n (x+2)^n$ 相同。
提示：乘以 $n$ 不改变收敛半径。
步骤 3/4
目标：判断 $x=-\sqrt{2}$ 是否在收敛区间内
计算 $|x+2| = |-\sqrt{2}+2| = 2-\sqrt{2} \approx 0.586 < 1$，因此 $x=-\sqrt{2}$ 在收敛区间内部。
提示：比较 $2-\sqrt{2}$ 与 $1$ 的大小。
步骤 4/4
目标：确定幂级数在 $x=-\sqrt{2}$ 处的敛散性
由于 $x=-\sqrt{2}$ 在收敛区间内部，幂级数在该点绝对收敛。
提示：收敛区间内部点绝对收敛。
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