kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（解答题） 13．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^{n}+2}{2^{n}(2 n+1)} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数 $S(x)$ ．
💡 答案解析
**答案**：收敛域$|x|<\sqrt{2}$，和函数$\displaystyle S(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{1}{x}\arctan x$ **解析**： 步骤1：级数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2)^n+2}{2^n(2n+1)}x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{2^n(2n+1)}x^{2n}$。 步骤2：第一项$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n}=\frac{1}{x}\arctan x$（$x\neq0$），$x=0$时为$1$。 步骤3：第二项$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{2^n(2n+1)}x^{2n}=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2/2)^n}{2n+1}=\frac{\sqrt{2}}{x}\arctan\frac{x}{\sqrt{2}}$（$x\neq0$），$x=0$时为$2$。 步骤4：收敛半径：第一项$R_1=1$，第二项$R_2=\sqrt{2}$，故公共收敛域$|x|<\sqrt{2}$。 **难度**：★★★★☆