kaoyan1basic 高等数学 第13题
📝 题目
### 【强化篇】第13题（选择题） 13．若级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 2^{n}$ 条件收敛，则真级数 $\sum_{n=0}^{\infty} m a_{n}(x+1)^{n}$ 的收敛区间为（ ）。 （A）$(-3,1)$ （B）$(-1,3)$ （C）$(-2,2)$ （D）$(-4,2)$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$\sum a_n2^n$条件收敛，则幂级数$\sum a_n x^n$的收敛半径$R=2$，且$x=2$处条件收敛。 步骤2：$\sum n a_n(x+1)^n$的收敛半径仍为$2$，收敛中心$x=-1$，收敛区间$|x+1|<2$，即$-3
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定幂级数∑a_n x^n的收敛半径
由已知条件，级数∑a_n 2^n条件收敛，说明幂级数∑a_n x^n在x=2处条件收敛，因此收敛半径R=2。
公式：若幂级数∑a_n x^n在x=x0处条件收敛，则收敛半径R=|x0|。
提示：条件收敛意味着该点位于收敛区间端点。
步骤 2/3
目标：确定所求级数的收敛半径和收敛中心
级数∑n a_n (x+1)^n与∑a_n x^n有相同的收敛半径R=2，因为乘以n不改变收敛半径。收敛中心为x=-1。
公式：幂级数∑n a_n (x+1)^n的收敛半径与∑a_n x^n相同。
提示：乘以n或多项式因子不改变收敛半径。
步骤 3/3
目标：求收敛区间
由收敛半径R=2，收敛中心x=-1，得|x+1|<2，即-3
公式：收敛区间为|x-x0|
提示：注意端点需单独判断，但本题只需开区间。
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