kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【基础篇】第14题（选择题） 14．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}, \\ x-1, & \frac{1}{2}
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$S(x)$是$f(x)$在$[0,1]$上正弦级数，周期延拓为奇函数，周期$2$。 步骤2：$\displaystyle S\left(-\frac{5}{2}\right)=S\left(-\frac{5}{2}+2\right)=S\left(-\frac{1}{2}\right)=-S\left(\frac{1}{2}\right)$（奇函数）。 步骤3：$\displaystyle x=\frac{1}{2}$为间断点，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}^-\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}^+\right)=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，故$\displaystyle S\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{8}$，所以$\displaystyle S\left(-\frac{5}{2}\right)=\frac{1}{8}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定S(x)的傅里叶级数类型和周期延拓性质
S(x)是f(x)在[0,1]上的正弦级数，因此将f(x)奇延拓到[-1,1]再周期延拓，周期为2。
提示：正弦级数对应奇延拓，周期为2。
步骤 2/5
目标：利用周期性化简自变量
S(-5/2) = S(-5/2 + 2) = S(-1/2)。
提示：周期为2，加减整数倍周期值不变。
步骤 3/5
目标：利用奇函数性质
S(x)是奇函数，所以S(-1/2) = -S(1/2)。
提示：奇函数满足S(-x) = -S(x)。
步骤 4/5
目标：计算S(1/2)的值
x=1/2是f(x)的第一类间断点，S(1/2)等于左右极限的平均值。左极限f(1/2^-)= (1/2)^2 = 1/4，右极限f(1/2^+)= 1/2 - 1 = -1/2，所以S(1/2) = (1/4 + (-1/2))/2 = -1/8。
公式：S(x) = (f(x^-) + f(x^+))/2 在间断点处
提示：傅里叶级数在间断点收敛到左右极限的平均值。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
S(-5/2) = -S(1/2) = -(-1/8) = 1/8。
提示：注意符号。
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