kaoyan1basic 高等数学 第14题
📝 题目
### 【强化篇】第14题（选择题） 14．设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, \sum_{n-0}^{\infty} b_{n} x^{n}$ 的收敛半径均为 $r(0
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\sum a_n x^n$和$\sum b_n x^n$收敛半径均为$r$，则$\sum (a_n+b_n)x^n$收敛半径$\ge r$，可能大于$r$（如$a_n=1,b_n=-1$时半径为$+\infty$），故A不一定。 步骤2：B中$n b_n$使半径可能缩小；C中$\displaystyle \frac{b_0}{2^n}$收敛半径为$2$，可能改变；D中$\displaystyle \frac{b_n}{n+1}$不改变收敛半径，且$\sum a_n x^n$半径不变，故D正确。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析选项A的收敛半径
已知∑a_n x^n和∑b_n x^n的收敛半径均为r，则∑(a_n+b_n)x^n的收敛半径至少为r，但可能大于r。例如取a_n=1, b_n=-1，则∑(a_n+b_n)x^n=0，收敛半径为+∞，故A不一定保持半径r。
提示：注意收敛半径的下界性质，但可能扩大。
步骤 2/4
目标：分析选项B的收敛半径
考虑∑(a_n+n b_n)x^n，其中n b_n项可能使收敛半径缩小。例如取b_n=1，则∑n b_n x^n=∑n x^n的收敛半径为1，而原级数半径可能大于1，故B不一定保持半径r。
提示：乘以n可能改变收敛半径。
步骤 3/4
目标：分析选项C的收敛半径
∑(a_n + b_0/2^n)x^n中，b_0/2^n的收敛半径为2，若r≠2，则整体收敛半径可能改变。例如r=1时，半径为min(1,2)=1，但若r>2，则半径为2，故C不一定保持r。
提示：注意常数项级数的收敛半径。
步骤 4/4
目标：分析选项D的收敛半径
∑(a_n + b_n/(n+1))x^n中，b_n/(n+1)的收敛半径与∑b_n x^n相同，因为乘以1/(n+1)不改变收敛半径。同时∑a_n x^n半径不变，故整体收敛半径仍为r。
提示：乘以有界非零因子不改变收敛半径。
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