kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【基础篇】第15题（填空题） 15．设 $f(x)=\sin x$ ，若 $\displaystyle f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x, x \in[0, \pi]$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \ln \left(1+a_{2 n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：$f(x)=\sin x$在$[0,\pi]$上展开为余弦级数，$\displaystyle a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin x\cos nx\,dx$。 步骤2：计算$\displaystyle a_{2n}=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \sin x\cos(2nx)dx=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{2}{1-4n^2}=\frac{4}{\pi(1-4n^2)}$。 步骤3：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^2\ln(1+a_{2n})=\lim_{n\to\infty}n^2\cdot a_{2n}=\lim_{n\to\infty}n^2\cdot\frac{4}{\pi(1-4n^2)}=-\frac{1}{\pi}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定余弦级数系数公式
由于 f(x)=sin x 在 [0,π] 上展开为余弦级数，系数 a_n = (2/π) ∫_0^π sin x cos(nx) dx。
公式：a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin x \cos(nx) \, dx
提示：余弦级数展开时，区间为 [0,π]，系数公式为 a_n = (2/π) ∫_0^π f(x) cos(nx) dx。
步骤 2/3
目标：计算 a_{2n}
代入 n=2n，计算积分：a_{2n} = (2/π) ∫_0^π sin x cos(2nx) dx。利用三角恒等式 sin x cos(2nx) = (1/2)[sin((2n+1)x) + sin((1-2n)x)]，积分得 a_{2n} = (2/π) * [2/(1-4n^2)] = 4/[π(1-4n^2)]。
公式：a_{2n} = \frac{4}{\pi(1-4n^2)}
提示：注意积分时 sin((1-2n)x) 的积分结果，以及 n 为正整数。
步骤 3/3
目标：求极限
当 n→∞ 时，a_{2n} → 0，因此 ln(1+a_{2n}) ~ a_{2n}。极限化为 lim_{n→∞} n^2 * a_{2n} = lim_{n→∞} n^2 * 4/[π(1-4n^2)] = lim_{n→∞} 4n^2/[π(1-4n^2)] = -1/π。
公式：\lim_{n\to\infty} n^2 \ln(1+a_{2n}) = \lim_{n\to\infty} n^2 a_{2n} = -\frac{1}{\pi}
提示：使用等价无穷小 ln(1+x)~x 当 x→0。
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