kaoyan1basic 高等数学 第15题
📝 题目
### 【强化篇】第15题（解答题） 15．设 $a_{n}$ 表示由曲线 $y=x^{n}$ 与 $y=x^{n+1}$ 所围成的平面图形的面积，$n=1,2, \cdots$ ． （1）求晽级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域与和函数 $S(x)$ ； （2）求数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(n+1) 2^{n}}$ 的和．
💡 答案解析
**答案**： (1) 收敛域为$[-1,1)$，和函数$\displaystyle S(x)=\frac{1}{1-x}-\frac{1}{x}\ln\frac{1}{1-x}$，$x\in[-1,0)\cup(0,1)$，且$S(0)=0$。 (2) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n(n+1)2^n}=1-2\ln\frac{3}{2}$。 **解析**： 步骤1：求$a_n$。曲线$y=x^n$与$y=x^{n+1}$的交点为$(0,0)$和$(1,1)$，且当$x\in[0,1]$时$x^n\geq x^{n+1}$，故$\displaystyle a_n=\int_0^1(x^n-x^{n+1})dx=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$。 步骤2：求收敛域。幂级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{(n+1)(n+2)}$。收敛半径$R=1$。当$x=1$时，级数为$\displaystyle \sum\frac{1}{(n+1)(n+2)}$收敛；当$x=-1$时，级数为$\displaystyle \sum\frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)}$绝对收敛。故收敛域为$[-1,1]$。 步骤3：求和函数。令$\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{(n+1)(n+2)}$。考虑$\displaystyle S_1(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{(n+1)(n+2)}=x^2S(x)$。求导得$\displaystyle S_1'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}$，再求导得$\displaystyle S_1''(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}$。积分得$\displaystyle S_1'(x)=\int_0^x\frac{t}{1-t}dt=-x-\ln(1-x)$。再积分得$\displaystyle S_1(x)=\int_0^x(-t-\ln(1-t))dt=-\frac{x^2}{2}-(1-x)\ln(1-x)-x$。故$\displaystyle S(x)=\frac{S_1(x)}{x^2}=-\frac{1}{2}-\frac{(1-x)\ln(1-x)}{x^2}-\frac{1}{x}$，化简得$\displaystyle S(x)=\frac{1}{1-x}-\frac{1}{x}\ln\frac{1}{1-x}$，$x\in[-1,0)\cup(0,1]$，且$S(0)=0$。 步骤4：求数项级数和。令$\displaystyle x=-\frac{1}{2}$，则$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n(n+1)2^n}=S\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}+2\ln\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}+2\ln\frac{2}{3}$，但注意原级数为$\displaystyle \sum\frac{(-1)^n}{n(n+1)2^n}$，而$\displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$，故$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n(n+1)2^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n2^n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)2^n}$。已知$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n2^n}=-\ln\left(1+\frac{1}{2}\right)=-\ln\frac{3}{2}$，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)2^n}=2\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n2^n}=2\left(\ln\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right)=2\ln\frac{3}{2}-1$，故原式$\displaystyle =-\ln\frac{3}{2}-(2\ln\frac{3}{2}-1)=1-3\ln\frac{3}{2}$。重新计算：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n2^n}=-\ln(1+\frac{1}{2})=-\ln\frac{3}{2}$；$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)2^n}=2\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n2^n}=2\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n2^n}+\frac{1}{2}\right)=2\left(-\ln\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right)=1-2\ln\frac{3}{2}$。故原式$\displaystyle =-\ln\frac{3}{2}-(1-2\ln\frac{3}{2})=-1+\ln\frac{3}{2}$。再检查：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n(n+1)2^n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\frac{1}{2^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n2^n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)2^n}$。第一个和$\displaystyle =-\ln(1+\frac{1}{2})=-\ln\frac{3}{2}$。第二个和$\displaystyle =2\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n2^n}=2\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n2^n}+\frac{1}{2}\right)=2\left(-\ln\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\right)=1-2\ln\frac{3}{2}$。故原式$\displaystyle =-\ln\frac{3}{2}-(1-2\ln\frac{3}{2})=-1+\ln\frac{3}{2}$。但题目中$a_n$为$\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}$，而所求级数为$\displaystyle \frac{(-1)^n}{n(n+1)2^n}$，两者不同，需直接计算。利用$\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，则原式$\displaystyle =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n2^n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)2^n}$。第一个和$\displaystyle =-\ln(1+\frac{1}{2})=-\ln\frac{3}{2}$。第二个和$\displaystyle =\sum_{m=2}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{m2^{m-1}}=2\sum_{m=2}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{m2^m}=2\left(\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{m2^m}-\frac{1}{2}\right)=2\left(\ln(1+\frac{1}{2})-\frac{1}{2}\right)=2\ln\frac{3}{2}-1$。故原式$\displaystyle =-\ln\frac{3}{2}-(2\ln\frac{3}{2}-1)=1-3\ln\frac{3}{2}$。最终答案应为$\displaystyle 1-3\ln\frac{3}{2}$。 **难度**：★★★★☆