kaoyan1basic 高等数学 第596题

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📝 题目

### 第596题 设 $\Omega$ 由 $\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{2^{2}}+\frac{z^{2}}{3^{2}} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1$ 所确定，则 $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v=$ $\_\_\_\_$ $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v=$ ．

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{8\pi}{15}$ **解析**： 步骤1：区域$\Omega$为椭球$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{9}\leqslant1$被$0\leqslant z\leqslant1$所截部分。用截面法，固定$z$，截面为椭圆$\displaystyle x^2+\frac{y^2}{4}\leqslant1-\frac{z^2}{9}$，面积$\displaystyle A(z)=\pi\cdot\sqrt{1-\frac{z^2}{9}}\cdot2\sqrt{1-\frac{z^2}{9}}=2\pi\left(1-\frac{z^2}{9}\right)$。 步骤2：三重积分$\displaystyle \iiint_\Omega z^2 dV=\int_0^1 z^2 A(z)dz=\int_0^1 z^2\cdot2\pi\left(1-\frac{z^2}{9}\right)dz=2\pi\int_0^1\left(z^2-\frac{z^4}{9}\right)dz$。 步骤3：计算得$\displaystyle 2\pi\left[\frac{z^3}{3}-\frac{z^5}{45}\right]_0^1=2\pi\left(\frac13-\frac1{45}\right)=2\pi\cdot\frac{14}{45}=\frac{28\pi}{45}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：确定积分区域并选择截面法
区域Ω为椭球x^2 + y^2/4 + z^2/9 ≤ 1被平面z=0和z=1所截的部分。采用截面法，先固定z，截面为椭圆：x^2 + y^2/4 ≤ 1 - z^2/9。
公式：椭圆面积公式：A = πab，其中a=√(1-z^2/9)，b=2√(1-z^2/9)，故A(z)=2π(1-z^2/9)。
提示：注意椭球方程标准化后，半轴长分别为1,2,3。
步骤 2/3
目标：写出三重积分表达式
将三重积分化为先二后一积分：∭_Ω z^2 dV = ∫_{z=0}^1 z^2 A(z) dz = ∫_0^1 z^2 * 2π(1 - z^2/9) dz。
公式：∭_Ω f(z) dV = ∫_a^b f(z) A(z) dz
提示：被积函数只与z有关，适合用截面法。
步骤 3/3
目标：计算定积分
计算积分：2π ∫_0^1 (z^2 - z^4/9) dz = 2π [z^3/3 - z^5/45]_0^1 = 2π (1/3 - 1/45) = 2π * 14/45 = 28π/45。
公式：∫ z^n dz = z^{n+1}/(n+1)
提示：注意分数通分：1/3=15/45，减去1/45得14/45。

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