kaoyan1basic 高等数学 第595题
📝 题目
### 第595题 平面 $\Pi: x-2 y+2 z+9=0$ 与以点 $M_{0}(2,0,-1)$ 为球心的球面相切，则该球面的方程是 $\_\_\_\_$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：$(x-2)^2+y^2+(z+1)^2=9$ **解析**： 步骤1：球心$M_0(2,0,-1)$到平面$x-2y+2z+9=0$的距离为$\displaystyle d=\frac{|2-0-2+9|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}=\frac{9}{3}=3$。 步骤2：球面与平面相切，故半径$R=d=3$，球面方程为$(x-2)^2+y^2+(z+1)^2=9$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算球心到平面的距离
球心 M0(2,0,-1) 到平面 x-2y+2z+9=0 的距离公式为 d = |Ax0+By0+Cz0+D| / sqrt(A^2+B^2+C^2)，代入得 d = |2 - 0 - 2 + 9| / sqrt(1+4+4) = 9/3 = 3。
公式：d = |Ax0+By0+Cz0+D| / sqrt(A^2+B^2+C^2)
提示：注意平面方程中系数和常数项的正负号。
步骤 2/2
目标：确定球面半径并写出方程
由于球面与平面相切，半径 R = d = 3。球面方程为 (x-2)^2 + y^2 + (z+1)^2 = 9。
公式：(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2
提示：球心坐标对应方程中的减号，半径平方等于右边。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。