kaoyan1basic 高等数学 第594题
📝 题目
### 第594题 直线 $\displaystyle L: \frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{3}=z+1$ 绕直线 $L_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$ 旋转一圈所产生的曲面方程是 $\_\_\_\_$。 －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$(x-2)^2+(y-3)^2=5(z+1)^2$ **解析**： 步骤1：直线$L_1$为$x=2,y=3$，即$z$轴方向的直线。旋转曲面由$L$绕$L_1$旋转生成。 步骤2：$L$上一点$(3+2t,1+3t,-1+t)$到$L_1$的距离平方为$(3+2t-2)^2+(1+3t-3)^2=(1+2t)^2+(-2+3t)^2$。 步骤3：旋转曲面上点$(x,y,z)$满足到$L_1$的距离等于$L$上对应点（相同$z$坐标）到$L_1$的距离。由$z=-1+t$得$t=z+1$，代入距离平方得$(1+2(z+1))^2+(-2+3(z+1))^2=(2z+3)^2+(3z+1)^2=13z^2+18z+10$。 步骤4：另一方面，点$(x,y,z)$到直线$x=2,y=3$的距离平方为$(x-2)^2+(y-3)^2$，故曲面方程为$(x-2)^2+(y-3)^2=13z^2+18z+10$，化简得$(x-2)^2+(y-3)^2=5(z+1)^2$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
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