kaoyan1basic 高等数学 第16题
📝 题目
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x, b_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} t \mathrm{~d} t, n=1,2, \cdots$ ，计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{a_n}{b_n}=-1+\frac{\pi}{2}$。 **解析**： 步骤1：计算$a_n$。令$x=\sin t$，则$\displaystyle a_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n t\cos^2 t dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n t(1-\sin^2 t)dt=b_n-b_{n+2}$。 步骤2：计算$b_n$。$\displaystyle b_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n t dt$，有递推$\displaystyle b_n=\frac{n-1}{n}b_{n-2}$，且$\displaystyle b_0=\frac{\pi}{2}$，$b_1=1$。 步骤3：求比值。$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}=1-\frac{b_{n+2}}{b_n}=1-\frac{n+1}{n+2}$（由递推$\displaystyle b_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}b_n$），故$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}=1-\frac{n+1}{n+2}=\frac{1}{n+2}$。 步骤4：求和。$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{a_n}{b_n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+2}=\sum_{m=3}^{\infty}\frac{(-1)^{m-2}}{m}=\sum_{m=3}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m}$。已知$\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m}=-\ln2$，故原式$\displaystyle =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m}-\left(-\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)=-\ln2-(-\frac{1}{2})=-\ln2+\frac{1}{2}$。但需检查：$\displaystyle \sum_{m=3}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m}=(-\ln2)-(-1+\frac{1}{2})=-\ln2+\frac{1}{2}$。故答案为$\displaystyle -\ln2+\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆