kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【基础篇】第17题（解答题） 17．设级数 $1+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在收敛区间 $(-R, R)$ 内的和函数是微分方程 $\displaystyle y^{\prime}-\frac{y}{6}=\frac{x y^{7}}{6}$ 的一个解，求该级数的和函数．
💡 答案解析
**答案**：和函数$\displaystyle y(x)=\frac{1}{\sqrt[6]{1-x^2}}$，$x\in(-1,1)$。 **解析**： 步骤1：设$y=1+\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n$，则$y$满足$\displaystyle y'-\frac{y}{6}=\frac{xy^7}{6}$。这是伯努利方程，令$z=y^{-6}$，则$z'=-6y^{-7}y'$，代入得$z'+z=-x$。 步骤2：解一阶线性微分方程$z'+z=-x$，通解$z=e^{-\int dx}\left(\int -xe^{\int dx}dx+C\right)=e^{-x}\left(-\int xe^x dx+C\right)=e^{-x}(-xe^x+e^x+C)=1-x+Ce^{-x}$。 步骤3：由$y(0)=1$得$z(0)=1$，代入得$1=1-0+C$，故$C=0$。所以$z=1-x$，即$y^{-6}=1-x$，故$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt[6]{1-x}}$。注意原方程中为$\displaystyle \frac{xy^7}{6}$，代入验证正确。收敛区间为$|x|<1$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别方程类型并化为线性方程
设 y = 1 + ∑_{n=1}^∞ a_n x^n，则 y 满足 y' - y/6 = x y^7 / 6。这是伯努利方程，令 z = y^{-6}，则 z' = -6 y^{-7} y'，代入原方程得 z' + z = -x。
公式：伯努利方程：y' + P(x)y = Q(x)y^n，令 z = y^{1-n}
提示：注意 n=7，所以 1-n = -6。
步骤 2/4
目标：解一阶线性微分方程
解 z' + z = -x。通解 z = e^{-∫dx} (∫ -x e^{∫dx} dx + C) = e^{-x} (-∫ x e^x dx + C) = e^{-x} (-(x e^x - e^x) + C) = 1 - x + C e^{-x}。
公式：一阶线性微分方程通解公式：y = e^{-∫P dx} (∫ Q e^{∫P dx} dx + C)
提示：分部积分 ∫ x e^x dx = x e^x - e^x。
步骤 3/4
目标：利用初始条件确定常数
由 y(0)=1 得 z(0)=1，代入 z = 1 - x + C e^{-x} 得 1 = 1 - 0 + C，故 C=0。所以 z = 1 - x，即 y^{-6} = 1 - x，因此 y = (1 - x)^{-1/6}。
公式：初始条件：y(0)=1
提示：注意幂次：y = (1-x)^{-1/6} 即 1/∛√(1-x) 的六次根。
步骤 4/4
目标：验证收敛区间
和函数 y(x) = (1-x)^{-1/6} 的收敛区间为 |x|<1，即 (-1,1)。
公式：幂级数收敛半径由 (1-x)^{-1/6} 的展开确定
提示：注意原方程中 x 的系数，验证代入成立。
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