kaoyan1basic 高等数学 第17题
📝 题目
### 【强化篇】第17题（解答题） 17．设 $a_{n}=\int_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ． （1）求 $a_{n}$ 的表达式； （2）计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{2}}{a_{n}}$ ．
💡 答案解析
**答案**： (1) $a_n=n!$。 (2) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi^2}{a_n}=\pi^2(e-1)$。 **解析**： 步骤1：计算$a_n$。$a_n=\int_0^{+\infty}x^n e^{-x}dx=\Gamma(n+1)=n!$。 步骤2：求和。$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi^2}{a_n}=\pi^2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}=\pi^2(e-1)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算 a_n 的表达式
识别出积分 a_n = ∫_0^+∞ x^n e^{-x} dx 是 Gamma 函数 Γ(n+1) 的定义，因此 a_n = Γ(n+1) = n!。
公式：Γ(n+1) = ∫_0^+∞ x^n e^{-x} dx = n!
提示：Gamma 函数是阶乘的推广，对于非负整数 n，Γ(n+1)=n!。
步骤 2/2
目标：计算无穷级数 ∑_{n=1}^∞ π^2 / a_n
将 a_n = n! 代入，得 ∑_{n=1}^∞ π^2 / n! = π^2 ∑_{n=1}^∞ 1/n!。利用指数函数的泰勒展开 e^x = ∑_{n=0}^∞ x^n/n!，取 x=1 得 e = ∑_{n=0}^∞ 1/n!，因此 ∑_{n=1}^∞ 1/n! = e - 1。故原式 = π^2 (e - 1)。
公式：e^x = ∑_{n=0}^∞ x^n/n!，特别地 e = ∑_{n=0}^∞ 1/n!
提示：注意求和从 n=1 开始，需减去 n=0 项 1/0! = 1。
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