kaoyan1basic 高等数学 第18题

**答案**： (1) $\displaystyle a_n=(-1)^n\frac{2}{(n+1)^3}$。 (2) $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)^3n!}$，化简为$\displaystyle 2\left(1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3\cdot2!}-\cdots\right)$，但最终可表示为$2\int_0^1 e^{-\ln x}x^2 dx?$ 重新计算：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_0^1 x^2\ln^n x dx=\int_0^1 x^2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\ln^n x}{n!}dx=\int_0^1 x^2 e^{\ln x}dx=\int_0^1 x^3 dx=\frac{1}{4}$。 **解析**： 步骤1：计算$a_n$。令$t=-\ln x$，则$x=e^{-t}$，$dx=-e^{-t}dt$，$a_n=\int_0^1 x^2\ln^n x dx=\int_{+\infty}^0 e^{-2t}(-t)^n(-e^{-t})dt=\int_0^{+\infty} e^{-3t}(-1)^n t^n dt=(-1)^n\int_0^{+\infty} t^n e^{-3t}dt$。令$u=3t$，则$\displaystyle =(-1)^n\frac{1}{3^{n+1}}\int_0^{+\infty}u^n e^{-u}du=(-1)^n\frac{n!}{3^{n+1}}$。 步骤2：求和。$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3^{n+1}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}$。 **难度**：★★★☆☆