kaoyan1basic 高等数学 第19题
📝 题目
### 【强化篇】第19题（解答题） 19．设函数 $y=f(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0$ ，且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=-1$ ． （1）求 $f(x)$ 的表达式； （2）设 $a_{n}=\int_{n \pi}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
💡 答案解析
**答案**： (1) $f(x)=e^{-x}\cos 2x$。 (2) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\frac{e^{-\pi}}{1-e^{-\pi}}\cdot\frac{1}{5}(2\sin 2n\pi?)$ 重新计算：$a_n=\int_{n\pi}^{+\infty}e^{-x}\cos 2x dx$，计算得$\displaystyle a_n=\frac{e^{-n\pi}}{5}(-\cos 2n\pi+2\sin 2n\pi)=\frac{e^{-n\pi}}{5}(-1)$，故$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=-\frac{1}{5}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n\pi}=-\frac{1}{5}\cdot\frac{e^{-\pi}}{1-e^{-\pi}}$。 **解析**： 步骤1：解微分方程。特征方程$r^2+2r+5=0$，解得$r=-1\pm2i$，通解$y=e^{-x}(C_1\cos2x+C_2\sin2x)$。由$f(0)=1$得$C_1=1$，由$f'(0)=-1$得$-C_1+2C_2=-1$，故$C_2=0$。所以$f(x)=e^{-x}\cos2x$。 步骤2：计算$a_n$。$a_n=\int_{n\pi}^{+\infty}e^{-x}\cos2x dx$。利用公式$\displaystyle \int e^{-x}\cos2x dx=\frac{e^{-x}}{5}(-\cos2x+2\sin2x)$，故$\displaystyle a_n=\lim_{b\to+\infty}\left[\frac{e^{-x}}{5}(-\cos2x+2\sin2x)\right]_{n\pi}^b=0-\frac{e^{-n\pi}}{5}(-\cos2n\pi+2\sin2n\pi)=-\frac{e^{-n\pi}}{5}(-1)=\frac{e^{-n\pi}}{5}$。注意$\cos2n\pi=1$，$\sin2n\pi=0$，故$\displaystyle a_n=\frac{e^{-n\pi}}{5}$。 步骤3：求和。$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\frac{1}{5}\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n\pi}=\frac{1}{5}\cdot\frac{e^{-\pi}}{1-e^{-\pi}}$。 **难度**：★★★☆☆