kaoyan1basic 高等数学 第20题
📝 题目
### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{1}=1,(n+1) a_{n+1}=\left(n+\frac{1}{2}\right) a_{n}$ ，证明：当 $|x|<1$ 时，幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 收敛，并求其和函数。
💡 答案解析
**答案**：和函数$\displaystyle S(x)=\frac{2}{\sqrt{1-x}}-2$，$|x|<1$。 **解析**： 步骤1：由递推$\displaystyle (n+1)a_{n+1}=(n+\frac{1}{2})a_n$，得$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n+\frac{1}{2}}{n+1}$。则$\displaystyle a_n=a_1\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k+\frac{1}{2}}{k+1}=1\cdot\frac{\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdots\frac{2n-1}{2}}{2\cdot3\cdots n}=\frac{(2n-1)!!}{2^{n-1}n!}$。故$\displaystyle a_n=\frac{(2n-1)!!}{2^{n-1}n!}$。 步骤2：收敛半径$\displaystyle R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{2(n+1)}{2n+1}=1$，故$|x|<1$时收敛。 步骤3：求和函数。$\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{2^{n-1}n!}x^n=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n$。注意到$\displaystyle (1-x)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n$，故$\displaystyle S(x)=2\left(\frac{1}{\sqrt{1-x}}-1\right)=\frac{2}{\sqrt{1-x}}-2$。 **难度**：★★★★☆